1-2概率论基础-1

管理统计学2014年1概率论基础1.1事件与概率1.2概率的基本性质1.3条件概率与事件独立性1.4随机变量及其分布1.1事件与概率•自然界和人类社会生产实践中的两类现象–确定性现象：具有确定结果的现象–不确定性现象/随机现象：在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果，并且在每次试验或观察之前不能预知会出现哪种结果•概率论研究的对象——随机现象例1.1生活中的随机现象•生活中随机现象的例子–抛掷一颗骰子，出现的点数–一天内进入某超市的顾客数–某一生产线生产出的灯泡的寿命–某批产品的不合格率1.1.1随机试验与随机事件•随机试验：满足以下三个特点的试验–试验可以在相同的条件下重复进行–试验有多种可能的结果，并且事先可以明确所有可能出现的结果–试验完成之前不能预知会出现哪一个的结果•样本空间()：一个随机试验的所有可能结果的集合•样本点()：试验的每一个可能结果例1.2随机现象的样本空间•试列出例1.1中随机现象的样本空间–掷一颗骰子的样本空间：Ω1={ω1,ω2,…,ω6}，其中ωi表示出现i点，i=1,2,…,6。也即掷一颗骰子的样本空间为：Ω1={1,2,…,6}–一天内进入某超市顾客数的样本空间：Ω2={0,1,2,…}，其中0表示一天内无人光顾–某生产线生产出灯泡的寿命的样本空间：Ω3={t|t≥0}–产品的不合格率一定是介于0与1之间的一个实数，因此其样本空间：Ω4={y|0≤y≤1}随机事件•随机事件/事件(A,B,C…)：样本空间的某个子集•事件A发生：当且仅当事件A所包含的某一样本点出现•随机事件的几个概念–基本事件：仅包含一个样本点的随机事件•例如，掷一颗均匀的骰子，事件B“掷出2点”–复合事件：包含多个样本点的随机事件•例如，掷一颗均匀的骰子，事件C“出现偶数点”–必然事件()：包含全部样本点的随机事件•例如，掷一颗均匀的骰子，事件D“点数小于7”–不可能事件(Ø)：不包含任何样本点的随机事件•例如，掷一颗均匀的骰子，事件E“点数大于6”1.1.3事件的概率•概率：随机事件发生的可能性的量度–常用P(A)表示随机事件A发生的可能性大小概率的四种定义概率的统计定义概率的古典定义概率的几何定义主观概率(1)概率的统计定义（待续）•频率：FN(A)=n/N，其中n为事件A发生的次数，N为试验总次数•频率的性质–非负性：FN(A)≥0–规范性：FN(Ω)=1–可加性：若A、B互不相容，则FN(A∪B)=FN(A)＋FN(B)(2)概率的古典定义•古典概型：具有以下两个基本特点的概率模型–试验具有有限个可能出现的结果–试验的每个基本事件出现的可能性都是相等的•古典概型中基本事件ω的概率（假定样本空间={ω1，ω2，…，ωn}）•古典概型中随机事件A的概率其中，事件A包含样本点又称为A的“有利场合”n1)P()P()P(n21nm样本点总数所包含的样本点的个数事件AP(A)例1.4摸球模型•已知袋中有5个白球、3个黑球，从中任取两个•求取到的两个球颜色不同的概率•解：–从8个球中任取2个有种不同的取法，记“取到的2个球颜色不同”为事件A，则事件A包含的样本点数为，故取到两个不同颜色球的概率为•摸球模型在实际问题中的应用–将“白球”、“黑球”替换为“正品”、“次品”，就可以用来求解产品质量抽样检查问题–向口袋中加入其他颜色的球，可以描述具有更多等级的产品抽样问题，如将产品分为一等品、二等品、三等品、等外品的产品抽样检查问题28C1315CC2815P(A)281315CCC(3)概率的几何定义•几何概型：设在空间上有一区域，随机地向内投掷一点M，满足–M落在区域Ω内的任意位置的概率都是相等的–M落在区域Ω的任何部分区域g内的概率只与g的测度（长度、面积、体积等）成正比，并且与g的位置和形状无关•几何概型中随机事件Ag的概率的测度的测度gg)P(A(4)主观概率•主观概率：对于一些不能重复的或不能大量重复的现象，根据个人的经验对随机事件发生的可能性进行估计得出的概率–例如气象预报“今天夜间多云有阵雨，降水概率60%”，外科医生认为某患者“手术成功的可能性为90%”1.2概率的基本性质•根据概率的公理化定义，有–性质1（非负性）：对于任意事件A，有P(A)≥0–性质2（规范性）：必然事件Ω的概率为1，即P()=1–性质3（可列可加性）：对于可列个两两互不相容事件A1，A2，…，有P(A1∪A2∪…)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)例1.6职工代表•已知某班组有男工7人、女工4人，现要选出3个代表•求3个代表中至少有一个女工的概率•解法1：–样本空间包含的全部样本点数为，以A记“3个代表中至少有一个女工”，Ai记“3个代表中有i个女工”(i=1,2,3)，则A=A1＋A2＋A3，故所求概率为•解法2：–将“3个代表中至少有一个女工”记为事件A，则=“3个代表全部为男工”，而，根据性质6可求得337)AP(31137CC311C3326165455145528)P(A)P(A)P(AP(A)3113431117243112714321CCCCCCCC33263371)AP(1P(A)A1.4随机变量及其分布1.4.1随机变量及其分布函数1.4.2随机变量的数字特征1.4.3常用的离散型分布1.4.4常用的连续型分布1.4.1随机变量及其函数分布•随机现象的结果–数量形式的，例如掷一颗骰子可能出现的点数–非数量形式的，例如抛一枚硬币的结果•随机现象数量化的表现——随机变量(1)随机变量与分布函数•随机变量(X,Y,Z…)：定义在样本空间Ω上的取值为实数的函数，满足Ω中每一个点，即每个基本事件都有实轴上的点与之对应–离散型随机变量：所有可能取值都能逐个列举出来–连续型随机变量：取值不能逐个列举，而是充满数轴上的某一区间•分布函数：F(x)=P(X≤x)，分布函数F(x)在x处的函数值就表示随机变量X落在区间(-,x]上的概率(2)离散型随机变量及其分布•离散型随机变量的分布列：pi=P(X=xi)，其中xi为离散型随机变量X的所有可能取值，i=1,2,…,n,…•分布列的表格形式•离散型随机变量的分布函数：Xx1x2…xn…Pp(x1)p(x2)…p(xn)…离散型随机变量的分布列xxiixpxx)()P(X)F(例1.14骰子点数之和•掷两颗骰子，以X记出现的点数之和•求X的分布列•解：–掷两颗骰子，可能出现的点数的组合为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)计算可得X的分布列为表1-1两颗骰子点数之和的分布列X23456789101112P1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/36例1.15离散型随机变量的分布函数•设随机变量X的分布列为•求X的分布函数•解：–根据分布列，得到X的分布函数如下F(x)的图形呈一条阶梯状的曲线，且取值1、2、3处为跳跃点，其跳跃度分别为0.2、0.3、0.4X123P0.20.30.5315.03.02.0325.03.02.0212.010)F(xxxxx1123OxF(x)0.20.40.60.8(3)连续型随机变量及其分布•连续型随机变量的分布函数：其中，p(x)是实数轴上的非负可积函数，称为随机变量X的概率密度函数/密度函数•密度函数的性质：–非负性：p(x)≥0–正则性：–对于任意实数a、b(ab)，有1)(dxxpxdttpxx-)()P(X)F(badxxbxa)(p)(POxp(x)ab1.4.2随机变量的数字特征•随机变量的数字特征：用来表示随机变量分布的某些重要特征的数字指标•常用的数字特征：–数学期望：随机变量所有可能取值的平均水平–方差和标准差：随机变量的取值相对平均水平的偏离程度(1)数学期望•数学期望(E(x)/)：随机变量所有可能取值的平均水平•离散型随机变量的数学期望：–离散型随机变量X的数学期望，即X的所有可能取值为x1,x2,…,xn…关于权p1,p2,…,pn…的加权平均值•连续型随机变量的数学期望：1)X(Eiiipxdxxxp)()X(E例1.17离散型随机变量的数学期望•试求例1.14中随机变量X的数学期望•解：–根据表1-1中的计算结果，计算得到X的数学期望为736112181111211091936586173656915121418133612)X(E例1.18连续型随机变量的数学期望•试求例1.16中随机变量X的数学期望•解：–已知X的密度函数为–因此X的数学期望为其它0101011)(xxxxxp01101)1()1()()X(Edxxxdxxxdxxxp(2)方差与标准差•方差：D(X)=E[X-E(X)]2，当且仅当E[X-E(X)]2存在时•标准差：•离散型随机变量的方差：•连续型随机变量的方差：D(X))X(12E(X)][)X(Diiipxdxxpxx)()](E[)X(D21.4.3常用的离散型分布分布分布列数字特征0-1分布P(X=1)=p，P(X=0)=1-p，（0p1）E(X)=pD(X)=p(1-p)二项分布E(X)=npD(X)=np(1-p)泊松分布E(X)=D(X)=超几何分布nkppCkknkkn,,2,1,0)1()X(P，,2,1,00!)X(Pkekkk，，mkknknk,,2,1,0CCC)X(PNMNM，NM)X(En）1N(Nn)M)(NnM(N)X(D2例1.20订票电话次数•假定某航空公司预订票处十分钟内接到订票电话的次数服从参数为7的泊松分布•求订票处在十分钟内恰好接到6次电话的概率•解：–以随机变量X表示订票处在十分钟内接到订票电话的次数，且X~P(7)，故利用泊松分布表，当k=6，=7时76!67)6X(Pe149.0!67)6X(P76e1.4.4常用的连续型分布分布密度函数数字特征均匀分布指数分布正态分布E(X)=D(X)=2.01)(其他，；，bxaabxp.000)(xxexpx，；，xexpx，22)(2121)(2)X(Eba12)()X(D2ab1)X(E21)X(D(1)均匀分布•均匀分布–随机变量X服从区间(a,b)上的均匀分布/X~U(a,b)随机变量X的密度函数为•均匀分布的分布函数•均匀分布的数学期望，方差和标准差.10)(Fbxbxaabaxaxx，；，；，.01)(其他，；，bxaabxp2)X(Eba12)()X(D2ab12)()X(2ab例1.22均匀分布概率•设随机变量X服从(0,10)上的均匀分布•求P(3x7)与P(5x≤12)•解：–由X服从(0,10)上的均匀分布可知因此.01001.0)(其他，；，xxp734.01.0)73(Pdxx1251055.01.0)()75(Pdxdxxpx(2)指数分布•指数分布：–随机变量X服从参数为的指数分布/X~Exp()随机变量X的密度函数为（0）•指数分布的分布函数•指数分布的数学期望、