1-3线性变换2013

§3线性变换及其矩阵表示以上讨论了线性空间的代数结构，说明了F上任一线性空间nV都与向量空间nF同构。但尚未涉及两个向量空间之间的转换关系。然而，在技术科学、社会科学和数学的一些分支中，不同向量空间之间的线性变换起着重要的作用。因此，为了研究两个向量空间之间的关系，有必要考虑能够从一个向量空间到另一个向量空间的转换关系的函数。事实上，在我们的日常生活中，也经常遇到这种转换。当我们欲将一幅图像变换为另一幅图像时，通常会移动它的位置，或者旋转它。例如，函数),(),(yxyxT就能够将图像的x坐标和y坐标改变尺度。根据和大于1还是小于1，图像就能够被放大或者缩小。下面我们讨论线性空间之间一种最简单但又最重要的联系，即线性变换，特别是nV到自身的线性变换(也称为线性算子)。定义1设nV到mV的变换T称为线性的，如果对任意的数k及nV中任意向量,，恒有.)(,)(kTkTTTT记mVT，则称为在T下的像，称为的原像。特别，当T是nV到自身的一个线性变换，则称T是nV的线性变换。定义中的两个条件也可以合并写作βαβαTkTkkkT2121)(更一般地，若npVuuu,,21，反复使用上面公式，可得ppppTkTkTkkkkTuuuuuu22112211)(这一公式在工程和物理中被称为叠加原理(superpositionprinciple)。如果puuu,,21分别是某个系统或过程的输入信号向量，则pTTTuuu,,21可分别视为该系统或过程的输出信号向量。判断一个系统是否为线性系统的判据是：如果系统的输入为线性表达式ppkkkuuuy2211，则当系统的输出也满足相同的线性关系ppTkTkTkTuuuy2211时，该系统为线性系统。否则，为非线性系统。例1下面是两个从3R到2R的变换：TxxxxxxxT3212221211,)(xx，TxxxxxxxT32132212,)(xx容易看出，例1的变换1T不满足线性关系,故不是线性变换；而变换2T满足线性关系，为线性变换。例2给定nmFA，定义nV到mV的变换T为mnFAxyFx，nmA容易验证T是一个线性变换。因为)()(2121xxAxxT2121TxTxAxAx，kTxkAxkxAkxT)()(。因此，矩阵变换AxxT)(是向量x的线性变换。A称为线性变换T的标准矩阵(Standardmatrix)。线性变换AxxT)(也称矩阵变换。例3对)(tPn中的多项式求导dtd，容易验证它是)(tPn的线性变换，记为D，即)()(),()(tPtptpdtdtDpn例4],[baC中的函数求积分tadt，容易验证它是],[baC的线性变换，记为J，即],[)(,)()]([baCtfdttftfJta例5前面介绍的向量内积也是一种线性变换。以实内积空间VyxyxyxyxniiiT,,),(1为例，显然它是一种将笛卡儿积},:),{(VyxyxVV变换到实数域R的映射RVVT:，即),(:yxRVVTdef根据内积定义知，映射VVT:满足线性变换的两个条件，故为线性变换。例6V的恒等变换I定义为,,VI而零变换o定义为,,0Vo不难验证，它们都是V的线性变换。线性变换具有下列简单性质：（1)VTTT,)(;00(2)niiiniiiTkkT11)(,即任意一组向量的线性组合取像，分别等于取像再线性组合；(3)一组线性相关的向量l,,,21，它们在T下的像,1TlTT,,2也是线性相关的。但是，线性无关的向量在T下的像可能是线性相关的。例如零变换把线性无关的向量都映射为零向量。定义2欧氏空间V的线性变换T称为正交变换，如果它保持V中任何两个向量的内积不变，即对任意的V,，恒有),(),(TT定理1设T是欧氏空间nV的线性变换，则T是正交变换的充充分必要条件是下列条件之一成立：(1)T保持向量的长度不变，即对任意nV，都有T.(2)T把一个标准正交基映射为一个标准正交基；(3)T在任一个标准正交基下的矩阵都是正交矩阵.证(1)的证明比较简单，请读者自证。(2)设n,,,21是nV的一个标准正交基。若T是正交变换，则,),(),(ijjijiTT故),,,(21nTTT是标准正交基。反之，设njjjniiiyx11,是nV中的两个向量，则有ninjjjiinjjjniiiyxyx1111),(),(),(ninjjjiinjjjniiiyTTxTyTxTT1111),(),(),(若T把标准正交基映为标准正交基，则),(),(jiijjiTT，从而),(),(TT，即T是正交变换。(3)设n,,,21是一个标准正交基，T在这个基下的矩阵是)(ijaA，则.,,2,1,1njaTniiijj若T是正交变换，那么ijnkkjkijnkkkjnkkkijiaaTaaTT111),(),(，即AAT的第i行第j列处的元是ij，故IAAT，也就是说A是正交矩阵。反之，若A是正交矩阵，则由上述的推导可知ijjiTT),(，亦即T把标准正交基映为标准正交基，故T是正交变换。不难证明，正交变换的乘积是正交变换；正交变换是可逆的，且其逆变换也是正交变换。注：正交投影变换；正交变换(Gives旋转变换、Householder镜像变换)；对称变换等变换以后将详细讨论。定理2令V和是W是两个向量空间，WVT:为一线性变换。(1)若M是V的线性子空间，则)(MT是W的线性子空间；(2)若N是W的线性子空间，则线性反变换)(1NT是V的线性子空间.证明略