1-4n阶行列式的定义

第四节n阶行列式的定义概念的引入n阶行列式的定义小结一、概念的引入111213212223313233aaaDaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa规律：1.三阶行列式共有6项，即3!项．2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．3.每一项可以写成（正负号除外），其中是1、2、3的某个排列.123123pppaaa123ppp例如:322113aaa列标排列的逆序数为,211312t322311aaa列标排列的逆序数为,101132t偶排列奇排列正号,负号规律：4.当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.123ppp123ppp111213212223313233aaaDaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa(123)112233(1)taaa(231)122331(1)taaa(312)132132(1)taaa(321)132231(1)taaa(213)122133(1)taaa(132)112332(1)taaa123123111213()212223123313233(1)tppppppaaaaaaaaaaaa二、n阶行列式的定义12212(1).ntppnpnnnaaa由个数组成的阶行列式等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和定义:1212npppnt其中为自然数，，，的一个排列，为这个排列的逆序数．111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa).det(ija简记作的元素．称为行列式数)det(ijijaa121212121nnntpppppnppppaaa说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、阶行列式是项的代数和;n!n3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;nn4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;aa5、的符号为nnpppaaa2121121.ntppp交换前交换前：行标逆序数与列标逆序数之和的奇偶性12ijnppppp12ijnqqqqq12jinqqqqq12jinppppp1122iijjnnpqpqpqpqpqaaaaa1122jjiinnpqpqpqpqpqaaaaa交换后行标由列标由交换后：行标逆序数与列标逆序数之和的奇偶性=111221221212nnnnppniqqqjijijpnaaaaaaaaa经过有限次的元素的交换位置，可以得到：12121212()()(12)()()(1)(1)(1)nnnntiiitjjjtntppptppp且满足：12121212()()()(12)()(1)(1)(1)nnnntiiitjjjtqqqtntqqqnppptnaaaD21211定理阶行列式也可定义为n其中为行标排列的逆序数.tnppp21证明按行列式定义有nnppptaaaD21211nppptnaaaD211211记对于D中任意一项1212()121,nntpppppnpaaa经过有限次元素交换得：1212()121,nntpppqqqnaaa因为：)...12()...()...()...12(212111ntqqqtppptntnn即：)...()...(212111nnqqqtpppt所以有：1212()121nntpppppnpaaa1D1212()121nntpppqqqnaaa即：D中的任一项是D1中的某一项。1212()121nntqqqqqqnaaa又因为D与D1都有n!项从而.1DD同理：可得D1中的任一项是D中的某一项。662551144332aaaaaa下标的逆序数为8452316t所以不是六阶行列式中的项.662551144332aaaaaa解655642312314aaaaaa下标的逆序数为6102210431265t所以是六阶行列式中的项.655642312314aaaaaa例1试判断和655642312314aaaaaa662551144332aaaaaa是否都是六阶行列式中的项.例2计算对角行列式0004003002001000展开式中项的一般形式是43214321ppppaaaa41p若,011pa从而这个项为零，所以只能等于,1p4同理可得1,2,3432ppp解0004003002001000432114321t.24即行列式中不为零的项为.aaaa41322314例3计算上三角行列式nnnnaaaaaa00022211211展开式中项的一般形式是nnpppaaa2121,npn,11npn,1,2,3123ppnpn所以不为零的项只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211nnntaaa2211121.2211nnaaa解例4?8000650012404321D443322118000650012404321aaaaD.1608541同理可得下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaan21.12121nnn;21nn21例5证明对角行列式与反对角行列式n2111,212111nnnnntaaa.12121nnn证明第一式是显然的,下面证第二式.若记,1,iniia则依行列式定义11,21nnnaaa证毕1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.2、阶行列式共有项，每项都是位于不同行、不同列的个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.nn!n三、小结3、行列式的三种表示方法nppptnaaaD21211nnppptaaaD21211