1-8函数的连续性与间断点.

第八节函数的连续性与间断点函数的连续性函数的间断点一、函数的连续性0,xxx记.x的增量0(),xUx对1.函数的增量0()(),fxUx设函数在内有定义0()(),yfxfx记0.xx称为自变量在点的增量()yfx称为函数相应于2.函数在一点连续的定义定义设函数)(xf在)(0xU内有定义,当自变量的增量x趋向于零时,增量y也趋向于零,0lim0yx或0)]()([lim000xfxxfx,连续点.如果对应的函数的即0x称为)(xf的那末就称函数)(xf在点0x连续,,0xxx设),()(0xfxfy,00xxx就是).()(00xfxfy就是等价定义：设函数)(xf在)(0xU内有定义,如果函数)(xf当0xx时的极限存在,且等于它在点0x处的函数值)(0xf,即)()(lim00xfxfxx那末就称函数)(xf在点0x连续.:语言00lim()()xxfxfx0()().fxfx恒有0,0,0,xx使当时0lim0xy0lim0xy00lim()()xxfxfx00lim()()xxfxfx0()fxx在点连续0()fxx在点不连续oxy0x0xxy()yfx0x0yoxy0x0xxy()yfx0x0y例1sin,0()0,0xxfxxx试证函数证:,01sinlim0xxx,0)0(f又由定义知()0.fxx函数在处连续0lim()(0),xfxf有0.x在处连续3.单侧连续设函数)(xf在00(]xx，内有定义,那末就称函数)(xf在点0x左连续.00lim()()xxfxfx，设函数)(xf在00[,)xx内有定义,那末就称函数)(xf在点0x右连续.00lim()()xxfxfx，且且定理0()fxx函数在点连续0().fxx函数在点既左连续又右连续例2,0()2,0xxfxxx讨论函数解:)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f不左连续,()0.fxx故函数在点不连续0.x在点的连续性(0)2,f右连续4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,称作在该区间(,),ab如果函数在开区间内连续上的连续函数,(),.fxCab()[,]fxab数在闭区间上连续，,xa点右连续并且在左端,xb在右端点左连续则称函记作该区间称作函数的连续区间.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,(,)知有理函数在区间内是连续的00lim()(),xxRxRxx由，()(,).RxC例sin(,).yx证明函数在区间内连续证：0(,),x任取00sin()sinyxxx02sincos.22xxx0cos1,2xx2sin.2xy有0,对sin有2sin,2xyx0,0.xy当时sin(,).yx故函数在区间内连续0sinyxx即函数在点是连续的，0x由的任意性，二、函数的间断点0():fxx函数在点连续必须满足的三个条件0(1)();fxx在点有定义;)(lim)2(0存在xfxx).()(lim)3(00xfxfxx,如果上述三个条件中只要有一个不满足0()(),fxx则称函数在点不连续或间断0()().xfx并称点为的不连续点或间断点1.第一类间断点0(),fxx如果在点的左、右极限都存在0()xfx设为函数的间断点.则称三、间断点的分类0().xfx点为函数的第一类间断点,0()1,0xxfxxx讨论函数解：00lim()lim()0,xxfxx(00)(00),ff有00lim()lim(1)1,xxfxx0().xfx为的第一类间断点例oxy10.x在点的连续性0x为函数的跳跃间断点跳跃间断点0(),,fxx如果在点左右极限都存在00(0)(0),fxfx00lim()lim()xxxxfxfx但0().xfx称点为函数的跳跃间断点例讨论函数1.x在的连续性012,()11,1,1xxfxxxx,1)1(f1lim()2xfx),1(f11lim()lim22,xxfxx11lim()lim(1)2,xxfxx1().xfx为的第一类间断点1().xfx为的可去间断点这种情况称解：oxy122,01()1,11,1xxfxxxx1可去间断点0(),fxx如果在点的极限存在00lim()(),xxfxfx但0()fxx或在点处无定义，0().xfx称点为函数的可去间断点可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.注意：如上例中,,2)1(f令2,01()1,1.xxfxxx，跳跃间断点与可去间断点均为第一类间断点.特点0.x函数在点的左、右极限都存在()1.fxx在点连续012,()12,1,1xxfxxxx则oxy122,01()1,11,1xxfxxxx12.第二类间断点0()fxx如果在点的左、右极限中至少有一个例1,0(),0xfxxxx讨论函数解:,0)00(f,)00(f0().xfx为的第二类间断点,不存在oxy,0()1,0xxfxxx0.x在处的连续性0().xfx则称点为函数的第二类间断点0().xfx这种情况称为的无穷间断点00lim()lim()xxxxfxfx如果、中至少有一个无穷间断点0().xfx为的第二类间断点oxy,0()1,0xxfxxx0()xfx是无穷,称为的无穷间断点.例.01sin)(处的连续性在讨论函数xxxf解:,0处没有定义在x01limsin().xx且不存在震荡0()xfx为的0().xfx这种情况称为的振荡间断点无穷间断点与震荡间断点均为第二类间断点.00lim()lim()xxxxfxfx如果、中至少有一个不存在，也不是无穷，震荡间断点oxy1()sinfxx.第二类间断点0()xfx称为的震荡间断点.注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,,0,,1)(是无理数时当是有理数时当xxxDy狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,,,,)(是无理数时当是有理数时当xxxxxf仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★例,a当取何值时解:xxfxxcoslim)(lim00,1)(lim)(lim00xaxfxx,a(0),fa00lim()lim()(0)xxfxfxf要使1,a故当且仅当时()0.fxx函数在点连续,1acos,0()0.,0xxfxxaxx函数在点连续小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx0xoyx0xoyx0x思考题若)(xf在点0x连续，则|)(|xf、)(2xf在点0x是否连续？在点0x是否连续？又若|)(|xf、)(2xf在点0x连续，则)(xf思考题解答)(xf在点0x连续，)()(lim00xfxfxx000()()()()fxfxfxfx又由00lim()()xxfxfx，0002lim()lim()lim()xxxxxxfxfxfx20()fx，故|)(|xf、)(2xf在点0x都连续.但反之不成立.例0,10,1)(xxxf在00x不连续但|()|1fx，2()1fx在00x连续.