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1第四章导数及其应用第三节定积分的概念，微积分基本定理及简单应用一、选择题1．(2009年广州月考)曲线y＝sinx(－π≤x≤2π)与x轴所围成的封闭区域的面积为()A．0B．2C．－2D．6解析：三块区域的面积都是2，故总面积为6.答案：D2．设f(x)的曲线是[a，b]上的连续曲线，n等分[a，b]，在每个小区间上任取ξi，则abf(x)dx是()A.limn→∞i＝1nf(ξi)B.limn→∞i＝1nb－anf(ξi)C.limn→∞i＝1nξif(ξi)D.limn→∞i＝1n(ξi－ξi－1)f(ξi)解析：由积分的定义易知．答案：B3．下列式子中，正确的是()A.abf(x)dx＝f(b)－f(a)＋CB.abf(x)dx＝f′(b)－f′(a)C.abf′(x)dx＝f(b)－f(a)D.[abf(x)dx]′＝f(x)解析：由微积分基本定理(牛顿－莱布尼兹公式)，易知C正确．答案：C4．以初速度40m/s坚直向上抛掷一物体，t秒时刻的速度为v＝40－10t2，则此物体所能到达的最高高度是()A.1603mB.803mC.403mD.203m答案：A5．函数f(x)＝x＋1－1≤x0cosx0≤x≤π2的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为()A.32B．1C．2D.12答案：A二、填空题6．(2009年南通模拟)已知t0，若0t()2x－1dx＝6，则t＝______.答案：37．(2008年山东卷)设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)．若01f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．解析：01f(x)dx＝01(ax2＋c)dx＝13ax3＋cx|10＝a3＋c＝ax20＋c，∵0≤x0≤1，∴x0＝33.2答案：338．由曲线y＝x2＋1，x＋y＝3及x轴，y轴所围成的区域的面积为：________.解析：如下图，S＝01(1＋x2)dx＋13(3－x)dx＝103.答案：103三、解答题9．(2009年济南模拟)如下图所示，已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－x2＋2ax()a1交于点O、A，直线x＝t()0t≤1与曲线C1、C2分别相交于点D、B，连结OD，DA，AB.(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式S＝f()t；(2)求函数S＝f()t在区间(]0，1上的最大值．解析：(1)由y＝x2，y＝－x2＋2ax，得点O()0，0，A()a，a2.又由已知得B()t，－t2＋2at，D()t，t2.故S＝0t()－x2＋2axdx－12·t·t2＋12()－t2＋2at－t2×()a－t＝－13x3＋ax2|t0－12t3＋()－t2＋at×()a－t＝－13t3＋at2－12t3＋t3－2at2＋a2t＝16t3－at2＋a2t.∴S＝f()t＝16t3－at2＋a2t()0t≤1.(2)f′()t＝12t2－2at＋a2，令f′()t＝0，即12t2－2at＋a2＝0，解得t＝()2－2a或t＝()2＋2a.∵0t≤1，a1，∴t＝()2＋2a应舍去．若()2－2a≥1即a≥12－2＝2＋22时，∵0t≤1，∴f′()t≥0.∴f()t在区间(]0，1上单调递增，S的最大值是3f()1＝a2－a＋16.若()2－2a1，即1a2＋22时，当0t()2－2a时，f′()t0，当()2－2at≤1时，f′()t0.∴f()t在区间(]0，()2－2a上单调递增，在区间[]()2－2a，1上单调递减．∴f()t的最大值是f[]()2－2a＝16[]()2－2a3－a[]()2－2a2＋a2()2－2a＝22－23a3.综上所述，[]f()tmax＝a2－a＋16，a≥2＋22，22－23a3，1a＜2＋22.10．(2008年山东德州)若函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(1)＝4，f′(1)＝1，01f(x)dx＝316，求函数f(x)的解析式．解析：由题意知f(1)＝a＋b＋c＝4，①f′(1)＝2a＋b＝1.②又由01f(x)dx＝01(ax2＋bx＋c)dx＝316，知a3＋b2＋c＝316.③①②③联立，解得：a＝－1，b＝3，c＝2，从而所求的函数f(x)的解析式为f(x)＝－x2＋3x＋2.