2011年数学高考考点预测(26)：数形结合的思想方法1

2011年数学高考考点预测（26）：数形结合的思想方法山东省兖州市第六中学《2009年新课标考试大纲》明确指出“数学知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法”。其中数学思想方法包括：函数与方程的思想方法、数形结合的思想方法、分类整合的思想方法、特殊与一般的思想方法、转化与化归的思想方法、必然与或然的思想方法。数学思想方法是对数学知识内容和方法的本质认识，是对数学的规律性的理性认识。高考通过对数学思想方法的考查，能够最有效地检测学生对数学知识的理解和掌握程度，能够最有效地反映出学生对数学各部分内容的衔接、综合和渗透的能力。《考试大纲》对数学考查的要求是“数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构”。而数学思想方法起着重要桥梁连接和支称作用，“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度”。“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。”数学的思想方法渗透到数学的各个角落，无处不在，有些题目还要考查多个数学思想。在高考复习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，在复习中要有意识地渗透这些数学思想，提升数学思想。数形结合的思想方法数形结合思想是一种很重要的数学思想，是数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面，把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。在使用的过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系；在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。特别是在集合、函数、不等式、数列、向量、解析几何、导数与积分等能够用图形表述的知识点，就要用数形结合形象化，高考在选择题、填空题侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。1．集合问题中的数形结合例1.（2008北京卷,理1）已知全集UR，集合|23Axx≤≤，|14Bxxx或，那么集合)(BCAU等于（）A．|24xx≤B．|34xxx或≤≥C．|21xx≤D．|13xx≤≤分析:不等式表示的集合通过数轴解答.解:在数轴上先画出14UBxxð,再画出集合|23Axx≤≤,取其公共部分如图所示阴影部分就是集合)(BCAU,故选D答案:D评注:对于不等式表示的集合,可在数轴上表示并进行集合的交、并、补的运算2.利用函数的图象解答问题例2．(07浙江)设1,1,2xxxxxf，xg是二次函数，若xgf的值域是,0，则xg的值域是（）A.,11,B.,01,C.,0D.,1分析：本题为复合函数，xg相当于fx中的的值，结合函数的图象，可以求得xg的值域。解：作出函数fx的图象如图所示，由图知当,10,x时，函数fx的值域为,0，而xgf为复合函数，xg相当于fx中的的值，所以xg的值域是,01,，故选B。答案：B评注：本题中的复合函数要转化为原函数fx和xg的信息，结合函数的图象更为直观地找到它们之间的关系。而不必探究二次函数xg的解析式。例3．（2008广东深圳中学）若baybax则函数,1,1的图象必不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析:由1a知函数图象单调递增,由1b知把指数函数图象向下平移到原点的下方.故不过第二象限,选B.答案:B-2-134x-101xyyfx评注:对于指数函数的图象必须熟悉,并能够进行图象的平移变换.例4．（宁夏区银川一中2008）函数11ln)(xxxf的零点的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个分析：函数11ln)(xxxf的零点的个数就是方程1ln01xx的解的个数，要通过数形结合，画出函数的图象的交点的个数。解：11ln)(xxxf的零点，即使1ln01xx，作函数lnyx的图象和函数11yx的图象如图所示，有两个交点，所以函数有两个零点，故选B答案：B评注：对于象本题这样的超越函数的解的个数问题常常用数形结合的思想解答3.利用导函数图象解答问题例5．（2008金华一中模拟）函数)(xfy的图象过原点，且它的导函数)('xfy的图象是如图所示的一条直线，则)(xfy的图象的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析：由导函数)('xfy的图象及求导公式，提炼出信息得到原函数的有关信息解答。解：它的导函数)('xfy的图象是如图所示的一条直线，可知原函数)(xfy为二次函数，设解析式为20fxaxbxca，由于函数)(xfy的图象过原点，所以0c，'()2yfxaxb为减函数，∴0a，由)('xfy的图象可知当000xxx时0'0fx，函数)(xfy的图象过原点，所以顶点在第一象限评注：要熟悉导函数与原函数之间的关系，对一次、二次函数关系及其图象的特点要很熟悉。例6.（2009莱阳）设'fx是函数()fx的导函数，将()yfx和'yfx的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是oyxxy10解析:根据函数的单调性与导函数值的正负之间的关系,进行逐一判断.A,B,C都有可能成立,排除A,B,C,选D答案:D评注:正确图象判断的原则为:函数的单调增,则导函数值为正,函数的单调减,则导函数值为负.4．利用不等式表示的平面区域解答问题例7．（2008年安徽卷，理15）若A为不等式组002xyyx表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线xya扫过A中的那部分区域的面积为分析：作出不等式表示的平面区域，然后再作平行线2xy和1xy则夹在两平行线之间的部分即为所求。解：如图知ACD是斜边为3的等腰直角三角形，OEC是直角边为1等腰直角三角形，区域的面积13173112224ACDOECSSS阴影评注：涉及到不等式表示的平面区域问题时常常要画出图形数形结合解答问题。例8．（2008年浙江,理17）若0,0ba，且当1,0,0yxyx时，恒有1byax，则以a,b为坐标点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于__________。分析：本小题主要考查线性规划的相关知识，可考虑特殊情形，比如x＝0，可得a＝1；y＝0可得b＝1.所以猜测a介于0和1之间，b介于0和1之间。OABxy解：不等式组1,0,0yxyx表示的平面区域为AOB，如图，01y由1byax恒成立知，当0x时，1by恒成立，当0y成立；当01y时，1by恒成立，∴01b；同理，01a∴以a,b为坐标点P（a，b）所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1。答案：1评注：线性规划的相关知识要画出图形，借助图形解答。另外对于恒成立问题，对个例一定成立，还要转为函数的最值。5.利用函数借助图形求面积例9.（2008山东省聊城市）．曲线2xy和曲线xy围成一个叶形图(如图所示阴影部分），其面积是（）A．1B．21C．22D．31分析:两条曲线围成的面积用微积分求出,并且是上面的函数减去下面的函数的积分.解:两条曲线的交点为1,1,阴影部分的面积为13123200211333Sxxdxxx评注:对于曲线所围成的不规则的几何图形的面积,要用微积分解答,注意积分的上限和下限,有时要看图形是否需要切分成多块部分求出.6．解析几何问题常常数形结合例10.（2008海南卷，理11）已知点P在抛物线24yx上，那么点P到点(21)Q，的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．114，B．114，C．(12)，D．(12)，分析:点P到点(21)Q，的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时,点P到点(21)Q，的距离与点P到抛物线的准线的距离之和也取得最小值,这样就可以把点P到抛物线的焦点的距离转为到准线的距离求出.解:点(21)Q，在抛物线24yx的内部,要使点P到点(21)Q，的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值,根据抛物线的定义知,须使点P到点(21)Q，的距离与点P到抛物线准线距离之和取得最小,即PQl准线时最小.则1,14P故选A.答案:A评注:抛物线的定义是到焦点的距离等于到准线的距离,做题时常常用定义进行转化.例11．（福建德化一中2008，理）已知函数f(x)=1－(x－1)2,若0x1x21,则（）A．f(x1)x1f(x2)x2B．f(x1)x1=f(x2)x2C．f(x1)x1f(x2)x2D．前三个判断都不正确分析：从解析式上看函数与圆的方程有联系，可以转化为圆，画出图形，由数形结合得出结论。解：由函数211yx得22110xyy知211yx的图象为圆2211xy的上半圆，如图，当0x1x21时，f(x1)x1和f(x2)x2分别为,OAOB的斜率，由图可知OAOBkk，∴f(x1)x1f(x2)x2，故选A评注：对于函数的图象要熟悉，利用数形结合解答函数的选择题比较形象直观，容易找到关系。例12.（2008重庆卷,理21）如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：6.PMPN（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若2·1cosPMPNMPN＝,求点P的坐标.分析：根据已知条件和椭圆的定义易得点P的轨迹方程，由（2）中的等式可变形转为向量的模和数量积，结合总条件，在三角形MPN中研究边与角之间的关系。解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴，b=225ac，12xxxyABOFPQxy所以椭圆的方程为221.95xy(Ⅱ)由2,1cosPMPNMPN得cos2.PMPNMPNPMPN①因为cos1,MPNP不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，4,MN由余弦定理有2222cos.MNPMPNPMPNMPN②将①代入②，得22242(2).PMPNPMPN故点P在以M、N为焦点，实轴长为23的双曲线2213xy上.由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足22195xy，所以由方程组22225945,33.xyxy解得33,25.2xy即P点坐标为335335335335(,)22222222、（，-）、（-，）或（，-）.评注：解析几何问题要画出图形，采用数形结合的方法解答。7.预测题（1）（2008宁夏银川一中,改编）已知函数fxxaxb（其中ab），若fx的图像如右图所