2011年春季学期《信息与计算科学专业》数值分析课程考试试卷(A卷)答案及评分标准

**试卷第1页共3页线封密三峡大学试卷班级姓名学号2011年春季学期《数值分析》课程考试试卷(A卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；题号一二三四五六七八九总分得分一、(16分)填空题1.已知1125A，则1A6(1分)，A7.(1分)2.迭代过程),1,0)((1nxxnn收敛的一个充分条件是迭代函数)(x满足1|)(|x.(2分)3.设),,2,1,0(,,53)(2kkhxxxfk则差商0],,,[321nnnnxxxxf.（2分）4.设)(xf可微,求方程)(xfx根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1kxfxfxxxkkkkk(2分)5.用二分法求方程01)(3xxxf在区间]1,0[内的根，迭代进行二步后根所在区间为]75.0,5.0[.（2分）6．为尽量避免有效数字的严重损失，当1x时，应将表达式xx1改写为xx11以保证计算结果比较精确.（2分）7.将2111A作Doolittle分解(即LU分解),则100.51L(2分),2100.5U(2分)二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：2724212121xxxxxx解：23222121,eeexx）（221221221)2()72()4(xxxxxx由0)1662(20)1323(2212211xxxxxx（8分）得法方程组166213232121xxxx7231x，7112x所以最小二乘解为：7231x7112x.（10分）三、（10分）已知)(xf的函数值如下表25.15.001)(15.005.01xfx用复合梯形公式和复合Simpson公式求dxxf11)(的近似值.解用复合梯形公式，小区间数4n，步长5.0)]1(1[41h)]1())5.0()0()5.0((2)1([24fffffhT.得分得分得分**试卷第2页共3页线封密三峡大学试卷班级姓名学号25.1]2)5.15.00(21[25.0（5分）用复合Simpson.小区间数2n,步长1)]1(1[21h)]1())5.0()5.0((4)0(2)1([62fffffhS33.168]2)5.10(45.021[61（10分）四、（12分）初值问题0)0(0,yxbaxy有精确解bxaxxy221)(，试证明：用Euler法以h为步长所得近似解ny的整体截断误差为nnnnahxyxy21)(证:Euler公式为：),(111nnnnyxhfyy代入baxyxf),(得：)(11baxhyynnn由0)0(0yy得：bhbaxhyy)(001;11122)(ahxbhbaxhyy)(3)(21223xxahbhbaxhyy……)()(12111nnnnxxxahnbhbaxhyy（10分）因nhxn,于是)]1(21[2nahbxynn2)1(2nnahbxn=nnnbxxxa12∴nnnyxy)()2(2112nnnnnbxxxabxax=nnnxxxa)(21=nhxa2=221anh(12分)五、(10分)取节点1,010xx,写出xexy)(的一次插值多项式),(1xL并估计插值误差.解:建立Lagrange公式为xL110100101yxxxxyxxxx10101101exxxex11.（8分）)1)(0(!2)()()(11xxyxLxyxR)10(811)0(max2110xxx（10分）六、(10分)在区间]3,2[上利用压缩映像原理验证迭代格式,1,0,4ln1kxxkk的敛散性.解:在]3,2[上,由迭代格式,1,0,4ln1kxxkk,知)(xx4ln.因x]3,2[时,]3,2[]12ln,8[ln)]3(),2([)(x（5分）又1|1||)(|xx,故由压缩映像原理知对任意]3,2[0x有收敛的迭代公式),1,0(,4ln1kxxkk（10分）得分得分得分**试卷第3页共3页线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、（10分）试构造方程组423322121xxxx收敛的Jacobi迭代格式和SeidelGauss迭代格式，并说明其收敛的理由.解:将原方程组调整次序如下:324232121xxxx调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组,故可保证建立的J迭代格式和GS迭代格式一定收敛.收敛的J迭代格式为:)3(21)24(31)(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx.,1,0k(5分)收敛的GS迭代格式为:)3(21)24(31)1(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx.,1,0k（10分）八、（12分）已知43,21,41210xxx1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；2)指明求积公式所具有的代数精度.解：1）过这3个点的插值多项式)())(())(()())(())(()(121012002010212xfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxp+)())(())((2021201xfxxxxxxxx)()()(2021010kkkxfAdxxpdxxf，其中:32)4341)(2141()43)(21())(())((10201021100dxxxdxxxxxxxxxA31)4321)(4121()43)(41())(())((10210120101dxxxdxxxxxxxxxA32)2143)(4143()21)(41())(())((10120210102dxxxdxxxxxxxxxA所求的插值型求积公式为：)]43(2)21()41(2[31)(10fffdxxf(10分)2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来的，故至少具有2次代数精度，再将43,)(xxxf代入上述求积公式，有：])43(2)21()41(2[3141333310dxx])43(2)21()41(2[3151444410dxx故上述求积公式具有3次代数精度.(12分)九、（10分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.得分得分得分