10三维空间中二次方程与二次曲面

三维空间中二次方程与二次曲面张晓青（2010073060029）指导教师：李厚彪【摘要】利用正交变换可以将二次型化为标准型，在三维空间中一个二次方程对应着一种二次曲面.在研究二次方程的几何意义时，先将二次方程进行正交变换进而研究所得到的标准型对应的几何图形，可以证明所得的几何图形是一个与原几何图形相同但位于特殊位置的图形，具有一定的对称性，为研究带来方便.这种正交变换法适用于一般情况具有探究价值，本文基于教材，进一步讨论正交变换后不同的标准型与几何图形的关系，并附有图解.【关键词】正交表换二次方程二次曲面1引言教材第六章二次型与二次曲面的几何应用中告诉我们不同的标准型的参数对应17种不同的几何图形，那么它们究竟是什么样的曲面图形呢？接下来我们一一讨论.2．正文如果线性变换XCY中的系数举矩阵C是正交矩阵，则称这个线性变换为正交变换对n维实向量T12(,,,)naaaα，T12(,,,)nbbbβ，设A为n阶正交矩阵，作正交变换XAα，YAβ，则TTTT(,)(,)()()(,).XYAαAβAαAβαΑAβαβαβ即，正交变换保持向量内积不变，因为也就保持向量的长度与夹角不变.于是在正交变换下，几何图形的形状不会发生改变.设222123111222333121213132323112233(,,)222?fxxxaxaxaxaxxaxxaxxbxbxbxc（1.1）则方程123(,,)0fxxx在几何空间中表示一个二次曲面.令111213212223313233aaaaaaaaaA,123xxxX，123bbbb则（1.1）式可记为TT()fcXXAXbX（1.2）下面，令T()gXXAX1.作正交变换XCY，其中T123(,,)yyyY，则223'''112233112233()fyyybybybycX（1.3）其中，123,,是矩阵A的特征值,112233()()()()ggfgbybybycXCYXYXY2.对（1.3）配平方，在几何上就是作坐标平移变换，将(1.3)化为标准型，因为正交变换不改变向量的内积，所以化成的标准型后的方程表示的几何图形与（1.1）中的几何图形相同.由于二次曲面的三个特征根123,,不全为零，下面按它们全不为零，有一个为零和有两个为零三种情况讨论.（1）1230，通过配方，将223'''1122331122330yyybybybyc改写为2222223312121122331231231()()()()02224bbbbbbyyyc（2.1.1）令111122223333222bzybzybzy作平移变换，2223121231()4bbbdc，方程化为222112233zzzd（2.1.2）讨论简化方程（2.1.2）的系数1）0d.①123,,与d同号令122232111dadbdc，（2.1.2）变成2223122221zzzabc（2.1.3）为椭球面标准方程，确定的曲面为椭球面（图1(a)）图1(a)椭球面图1(b)球面特别地，当123时为球面(图1(b))②123,,与d异号令122232111dadbdc，（2.1.2）变成2223122221zzzabc（2.1.4）为虚椭球面.③123,,中有一个与d同号（不妨设3与d同号）令122232111dadbdc，（2.1.2）变成2223122221zzzabc（2.1.5）为单叶双曲面标准方程，确定的曲面为单叶双曲面（图2）.图2单叶双曲面④123,,中有两个与d同号（不妨设12,与d同号）令122232111dadbdc，（2.1.2）变成2223122221zzzabc（2.1.6）为双叶双曲面标准方程，确定的曲面为双叶双曲面（图3）.图3双叶双曲面2）0d⑤123,,同号令122232111abc，（2.1.2）变成2223122220zzzabc（2.1.7）当且仅当1230zzz成立，故表示一点（0,0,0）.⑥123,,不全同号（不妨设12,与3异号）令122232111abc，（2.1.2）变成2223122220zzzabc（2.1.8）为椭圆锥面标准方程，确定的曲面为椭圆锥面(图4).特别地当12时为圆锥面(图5).图4椭圆锥面图5圆锥面（2）1230情况一：123,,有且只有一个为零（不妨设30），通过配方，将22'''11221122330yybybybyc改写为2222121211223312121()()()0224bbbbyybyc（2.2.1）令111122223322bzybzyzy作平移变换，2212121()4bbdc，方程化为221122330zzbzd（2.2.2）（1）30b再令1122333zzzzzbzd又一次作平移变换，方程化为221122330zzbz（2.2.3）讨论简化方程（2.2.3）的系数⑦12,同号令13231212pbqb,(2.2.3)变成22123(0)22zzzpqpq（2.2.4），为椭圆抛物面的标准方程，所确定的曲面为椭圆抛物面（图6）.特别地，当pq时，曲面是旋转抛物面（图7）.图6椭圆抛物面图7旋转抛物面⑧12,异号令13231212pbqb,(2.2.3)变成22123(0)22zzzpqpq，为双曲抛物面的标准方程，所确定的曲面为双曲抛物面（图8）.特别地，当pq时，表示30z的平面.图8双曲抛物面（2）30b,则2211220zzdA.0d⑨12,同号与d异号令122211dadb，（2.1.2）变成2212221zzab，为椭圆柱面标准方程，确定的曲面为椭圆柱面（图9），特别地，当12时为圆柱面.图9椭圆柱面⑩12,与d同号令122211dadb，（2.1.2）变成2212221zzab，为虚椭圆柱面.⑪12,异号令122211dadb，（2.1.2）变成2212221zzab，为双曲柱面标准方程，确定的曲面为双曲柱面（图10）.图10双曲柱面B.0d⑫12,同号，则当且仅当120zz成立，表示一对垂直相交于一条直线的曲面.⑬12,异号令122211dadb，（2.1.2）变成2212220zzab，表示一对相交平面的标准方程，确定了两个相交平面,特别地，当ab时，12zz，表示一对相互垂直的平面.情况二：123,,有两个为零（不妨设230），通过配方，将2'''111122330ybybybyc改写为221111223311()024bbybybyc（2.3.1）令111122332bzyzyzy作平移变换，2114bdc，方程化为21122330zbzbzd（2.3.2）讨论简化方程（2.3.2）的系数.（1）23,bb至少一个不为零⑭令11112222212112232212zzbzbzdzbbbzbzzbb作旋转变换得222111220zbbz，再令221212bbp，方程化为2122zpz（0p），为抛物柱面的标准方程，所确定的曲面为抛物柱面（图11）.图11抛物柱面（2）230bb则2110zd（2.3.3）⑮1,d异号令21da，方程（2.3.3）改写成221za，表示一对平行平面1za.⑯1,d同号令21da，方程（2.3.3）改写成221za，表示一对虚的平行平面.⑰0d，方程变为210z，表示一对重合平面.3.小结：任何一个二次方程通过正交变换可以化成五种标准方程之一：(一)222112233zzzd1230；(二)221122330zzbz1230b；(三)2211220zzd120；(四)21120zpz10p；(五)2110zd10.（i为各二次方程的非零特征根）各标准方程对应不同的参数值可得17种类型的曲面，这17种类型曲面可分成3种情况：a)基本类型：9种b)两个平面：3种一条直线：1种一个点：1种c)虚图形：3种参考文献[1]黄廷祝，成孝予，线性代数与空间解析几何，高等教育出版社，2008