2011年浙江省高考数学理科测试卷

安徽高中数学=4R2球的体积公式334RV其中R表示球的半径锥体的体积公式V=31Sh其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高柱体的体积公式V=Sh其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高台体的体积公式)(312211SSSShV其中S1，S2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高如果事件A，B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)已知函数f(x)＝267,0,100,,xxxxx则f(0)＋f(1)＝(A)9(B)7110(C)3(D)1110(2)“cosx＝1”是“sinx＝0”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(3)在等差数列{an}中，若a2＋a3＝4，a4＋a5＝6，则a9＋a10＝(A)9(B)10(C)11(D)12(4)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB．若E，F分别为线段A1D1，CC1的中点，则直线EF与平面ABB1A1所成角的余弦值为(A)63(B)22(C)33(D)13(5)设F是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：22221xyab(a＞0，b＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为(A)2(B)3(C)52(D)5(6)下列函数中，在(0，2)上有零点的函数是(A)f(x)＝sinx－x(B)f(x)＝sinx－2x(C)f(x)＝sin2x－x(D)f(x)＝sin2x－2x安徽高中数学页(7)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为(A)1(B)12(C)14(D)18(8)设2010(12)(1)xx＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10＋29129100(1)bbxbxbxx，则a9＝(A)0(B)410(C)10410(D)90410(9)设,2,,2,xyxyzyxy若－2≤x≤2，－2≤y≤2，则z的最小值为(A)－4(B)－2(C)－1(D)0(10)设U为全集，对集合X，Y，定义运算“”，XY＝(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则(XY)Z＝(A)(X∪Y)∩Z(B)(X∩Y)∪Z(C)(X∪Y)∩Z(D)(X∩Y)∪Z二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。(11)已知i为虚数单位，复数2i1iz，则|z|＝＿＿＿＿．(12)已知直线x－2ay－3＝0为圆x2＋y2－2x＋2y－3＝0的一条对称轴，则实数a＝_______．(13)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是＿＿＿＿＿cm3．(14)已知单位向量α，β，满足(α＋2β)(2α－β)＝1，则α与β夹角的余弦值为__________．(15)已知等比数列{an}，首项为2，公比为3，则12322222nnaaaaa＝_________(n∈N*)．(16)设M1(0，0)，M2(1，0)，以M1为圆心，|M1M2|为半径作圆交x轴于点M3(不同于M2)，记作⊙M1；以M2为圆心，|M2M3|为半径作圆交x轴于点M4(不同于M3)，记作⊙M2；……；以Mn为圆心，|MnMn+1|为半径作圆交x轴于点Mn+2(不同于Mn+1)，记作⊙Mn；……UUUUUUU(第13题)24234224正视图俯视图侧视图S＝1，k＝1输出S开始否是k＝k＋1S＝2S结束k＞2010?S＜1?S＝18S是否(第7题)安徽高中数学∈N*时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙Mn交于An，Bn．考察下列论断：当n＝1时，|A1B1|＝2；当n＝2时，|A2B2|＝15；当n＝3时，|A3B3|＝23354213＋－；当n＝4时，|A4B4|＝34354213－－；……由以上论断推测一个一般的结论：对于n∈N*，|AnBn|＝．(17)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为线段AD，BC上的点，∠ABE＝20°，∠CDF＝30°．将△ABE绕直线BE、△CDF绕直线CD各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB与直线DF所成角的最大值为_________．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(18)(本题满分14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知sin2C＝104．(Ⅰ)求cosC的值；(Ⅱ)若△ABC的面积为3154，且sin2A＋sin2B＝1316sin2C，求a，b及c的值．(19)(本题满分14分)甲、乙两队各有n个队员，已知甲队的每个队员分别与乙队的每个队员各握手一次(同队的队员之间不握手)，从这n2次的握手中任意取两次．记事件A：两次握手中恰有4个队员参与；事件B：两次握手中恰有3个队员参与．(Ⅰ)当n＝4时，求事件A发生的概率P(A)；(Ⅱ)若事件B发生的概率P(B)＜110，求n的最小值．DCEAFB(第17题)安徽高中数学页(20)(本题满分15分)如图，已知△AOB，∠AOB＝2，∠BAO＝6，AB＝4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B－AO－C的大小为．(Ⅰ)当平面COD⊥平面AOB时，求的值；(Ⅱ)当∈[2,23]时，求二面角C－OD－B的余弦值的取值范围．(21)(本题满分15分)已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为32的椭圆过点(2，22)．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．(22)(本题满分14分)已知实数a满足0＜a≤2，a≠1，设函数f(x)＝13x3－12ax2＋ax．(Ⅰ)当a＝2时，求f(x)的极小值；(Ⅱ)若函数g(x)＝x3＋bx2－(2b＋4)x＋lnx(b∈R)的极小值点与f(x)的极小值点相同．求证：g(x)的极大值小于等于54．AOBCD(第20题)xyO(第21题)PQ安徽高中数学页说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分(第11题除外)。五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分。一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。(1)C(2)A(3)A(4)C(5)B(6)D(7)D(8)C(9)B(10)B二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。(11)20(12)1(13)2123(14)13(15)78(16)32(17)12三、解答题：本大题共5小题，共72分。(18)本题主要考查三角变换、余弦定理、三角形面积公式、均值不等式等基础知识，同时考查三角运算求解能力。满分14分。(Ⅰ)解：因为cosB＋cos(A－C)＝3sinC，所以－cos(A＋C)＋cos(A－C)＝3sinC，得2sinAsinC＝3sinC，故sinA＝32．因为△ABC为锐角三角形，所以A=60°．………………………………………7分(Ⅱ)解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由题意知a＝2，由余弦定理得4＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc≥bc，所以△ABC面积＝12bcsin60°≤3，且当△ABC为等边三角形时取等号，所以△ABC面积的最大值为3．………………………14分安徽高中数学页(19)本题主要考查等差数列通项、求和公式、数列前n项和与通项的关系等基础知识，同时考查运算求解能力及抽象概括能力。满分14分。(Ⅰ)解：由题意可知1154530,262,adad得110,2.ad………………………………………6分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)得an＝10＋(n－1)(－2)＝12－2n，所以b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn＝nan＝n(12－2n)，当n＝1时，b1＝10，当n≥2时，b1＋2b2＋3b3＋…＋(n－1)bn－1＝(n－1)[12－2(n－1)]，所以nbn＝n(12－2n)－(n－1)[12－2(n－1)]＝14－4n，故bn＝14n－4．当n＝1时也成立．所以bn＝14n－4(n∈N*)．……………………………14分(20)本题主要考查空间线线、线面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。(Ⅰ)证明：取B1D1的中点E，连结C1E，OA，则A，O，C共线，且C1E＝OA，因为BCD－B1C1D1为三棱柱，所以平面BCD∥平面B1C1D1，故C1E∥OA，所以C1EAO为平行四边形，从而C1O∥EA．又因为C1O平面AB1D1，EA平面AB1D1，所以C1O∥平面AB1D1．………………………………………………7分(Ⅱ)解：过B1在平面B1C1D1内作B1A1∥C1D1，使B1A1＝C1D1．A1B1DABCC1D1(第20题)OFE安徽高中数学，AA1．过B1作A1D1的垂线，垂足为F，则B1F⊥平面ADD1，所以∠B1AF为AB1与平面ADD1所成的角．在Rt△A1B1F中，B1F＝A1B1sin60°＝62．在Rt△AB1F中，AB1＝3，故sin∠B1AF＝11BFAB=22．所以∠B1AF＝45°．即直线AB1与平面ADD1所成角的大小为45°．…………………14分(21)本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、运算求解能力和创新意识。满分15分。(Ⅰ)解：当a＝2时，f′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．列表如下：x(－，1)1(1，2)2(2，＋)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，f(x)的极小值为f(2)＝23．…………………………………6分(Ⅱ)解：f′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．由于a＞1，所以f(x)的极小值点x＝a，则g(x)的极小值点也为x＝a．而g′(x)＝12x2＋6bx－6(b＋2)＝6(x－1)(2x＋b＋2)，所以22ba，即b＝－2(a＋1)．又因为1＜a≤2，所以g(x)极大值＝g(1)＝4＋3b－6(b＋2)＝－3b－8＝6a－2≤10．故g(x)的极大值小于等于10．…………………………15分安徽高中数学页(22)本题主要考查直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。(Ⅰ)解:设B(x1，y1)，D(x2，y2)，由2,4,xmymyx得2440ymym，由Δ0，得1m或0m，且y1＋y2＝4m，y1y2＝－4m．又由2,4,xmyyx得y2－4my＝0，所以y＝0或4m．故A(4m2，4m)．由|BD|＝2|OA|，得(1＋m2)(y1－y2)2＝4(16m4