11-12微积分BA卷答案

第1页共6页北京交通大学2011-2012学年第二学期《微积分B》II、《微积分A》II、《工科数学分析》II期末考试试卷（A）考试方式：闭卷任课教师：学院_____________专业___________________班级____________学号_______________姓名_____________题号一二三四五六七八九总分得分阅卷人请注意：本卷共九道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题分5小题,每小题3分,共15分)1、设fxyxyxyxy(,)32231，则)2,3(yf=（C）。(A)41(B)40(C)42(D)392、函数fxyxyyxxyxy(,)sinsin11000，则极限lim(,)xyfxy00=（C）。(A)不存在(B)等于1(C)等于零(D)等于23．若),(yxf在关于y轴对称的有界闭区域D上连续，且),,(),(yxfyxf则二重积分Ddxdyyxf),(的值等于（B）。第2页共6页A．D的面积B．0C．Ddxdyyxf),(2D．),(yxf4．设0≤na),2,1(1nn，则下列级数中可断定收敛的是（D）.A．1nna；B．1)1(nnna；C．1nna；D．12)1(nnna5、设二阶线性非齐次方程)()()(xfyxqyxpy有三个特解xy1，xey2，xey23，则其通解为（C）。A.xxeCeCx221；B.xxeCeCxC2321；C.)()(221xxxexCeeCx；D.)()(2221xeCeeCxxx二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分6小题,每小题3分,共18分)1、函数yxyaxxyxf22),(22在点)1,1(处取得极值，则常数a＝__-5____。2、若曲面2132222zyx的切平面平行于平面02564zyx，则切点坐标为)2,2,1(。3、函数22),,(zxyzyxf在点(2,-1,1)处沿向量)32,32,31(n所指方向的方向导数为310。4．)(xf是以2为周期的函数，且在（，]上有表达式xxxxf0,,0,0)(，)(xS是)(xf的傅立叶级数的和函数，则)(S=（2）.5、设f(x)有连续导数，2)1(f，L是单连通域上任意简单闭曲线，且则f(x)=x2+1.第3页共6页6、微分方程2222xxexyyy的通解为)2(222Cxeyx三（10分）、计算二重积分dxeydyyx1103.解：原式=dyeydxxx01035分=211023dxexx7分=)1(611e10分四（10分）、设),(xyyxfz具有连续的二阶偏导数，求yxzyzxz2,,。解：2121,xffyzyffxz4分分分分10)(9)()(62221211222211211221212fxyffyxffxffyxfffyfyyfyffyxzyyxz五（10分）、设)(xyy满足方程xeyyy223，且其图形在点)1,0(与曲线12xxy相切，求函数)(xy。解：由条件知)(xyy满足1)0(,1)0(yy2分由特征方程2,1023212rrrr,对应齐次方程的通解xxeCeCY2214分设特解为xAxey*，其中A为待定常数，代入方程，得xxeyA22*6分从而得通解xxxxeeCeCy2221,8分代入初始条件得0,121CC第4页共6页最后得xexxy)21()(10分六（10分）计算Ldyxyxdxyy)34()2(23，其中L是沿曲线21xy从点)0,1(到点)1,0(的圆弧。解：32yyP，234xyxQ，2234,32yQyPxy，2yxPQ2分为了利用格林公式，补加OABO，使OABOL成为闭曲线，且为所围区域D的边界曲线的正向。dyxyxdxyyOABOOABOLL)34()2(236分0110002dxdydD210分或Ldyxyxdxyy)34()2(23=dtttttttt]cos)sincos3cos4()sin)(sinsin2[(2023=dtttttt]sincos3cos4sinsin2[20222425分=dtttttt]sincos3cos4sinsin2[2022242=25分七、（10分）求幂级数1nnnx的收敛区间及和函数，并计算极限)321(lim32nnanaaa)1(a。解：1nnnx的收敛区间为），（112分设)11()(1xnxxsnn，而)()()(1111nnnnnnxxxxxnxxs5分2)1(1xxxxx11x8分第5页共6页)321(lim32nnanaaa=2)1(1aaas10分八（10分）、计算曲面积分dxdyazaxdydz2)(，其中有向曲面为下半球面222yxaz取下侧，a为大于零的常数。解：取xoy为xoy面上的圆盘222ayx，方向取上侧，则xoyxoydxdyazaxdydzdxdyazaxdydzdxdyazaxdydz222)()()(2分xyDdxdyadvaz2)32(4分aaaadrrdda2302220323sincos28分4444032212sincos4aaaadrrda10分九、（7分）设1),(22yxyxD，),(yxu与),(yxv在D上具有一阶连续偏导数，jyvxviyuxuGjyxuiyxvF,),(),(，且在D的边界曲线L（正向）上有yyxvyxu),(,1),(，证明dGFD证明：dGFDDyxyxduvvvuu])()[(2分Dyyxxduvvuuvvu)]()[(第6页共6页Dduvyuvx)]()([4分ydyydxuvdyuvdxLL6分Dd7分