11-2二阶与三阶行列式

与1解析几何线性代数•每周第一次上课交作业：1.可以用打印纸或者活页纸；2.写上姓名、学号（或座位号）和班级；3.助教负责批改作业和答疑，答疑时间自行安排。成绩分布：平时成绩占30%（作业，期中考试，考勤）期末考试占70%2多做题，多提问3学生问老师今年多大了，老师告诉学生：“当我像你这么大时，你才3岁，当你像我这么大的时候，我已经63了。”问老师今年多大了？小学奥数题可以用初等方法求解学生老师现在现在●●●●3●●63故老师和学生相差20岁4比较高级的方法是：设未知数，列方程求解设x为老师年龄，y为学生年龄y-(x-y)=3x+(x-y)=63-x+2y=3（1）2x-y=63（2）如何求解方程？消元法（1）+2（2）：3x=126x=432（1）+（2）：3y=69y=235为何要讲这个例子？小学：动脑筋解应用题；中学：列方程组消元法求解；大学：用线性代数的办法来研究。更直接的是，我们要从求解方程组引出行列式的概念。第一章行列式67§1.1二阶与三阶行列式作为定义n阶行列式的准备，先来讨论二阶和三阶行列式用消元法求解.,22221211212111bxaxabxaxa12:122a,2212221212211abxaaxaa:212a,1222221212112abxaaxaa两式相减消去x2，得8考察一般的二元一次方程组：;212221121122211baabxaaaa）（,211211221122211abbaxaaaa）（方程组的解为，211222112122211aaaabaabx）（3.211222112112112aaaaabbax同时出现，应该起着关键的作用类似地，消去x1，得当a11a22-a12a21≠0时，9基于此给出行列式的定义定义：10D==a11a22-a12a2122211211aaaa列指标行指标其中叫做一个二阶行列式。二阶行列式的运算可理解为对角线法则11a12a22a21a2211aa1221.aa主对角线副对角线11122122aaaa11注意：1.对角线元素乘积的差2.顾名思义，关于行和列的运算关系3.行列式是通过某种运算方式得到的一个数有了行列式的概念，我们重新看方程组的解，211222112122211aaaabaabx112121211221221abbaxaaaa,2221211ababD.2211112babaD从而1212,.DDxxDD,22211211aaaaD.,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组构成系数行列式在D不为零的情况下.,22221211212111bxaxabxaxa22211211aaaaD1222211211aaaaD,2221211ababD.2211112babaD1212,.DDxxDD得方程组的解139442352121xxxx例：求解二元线性方程组解：第一步，计算系数行列式是否为零0212414211D第二步，计算D1和D224942351,4649413521DD第三步，求比值121223,12.DDxxDD不难发现和用通常的消元法得到的结果是一致的大前提，否则就不能用这一方法14最直接的定义三阶行列式的途径是什么？用消元法求三元线性方程组的通解，找出公共的分母。111213212223313233aaaaaaaaa这样的办法太麻烦了，能否类比二阶行列式已有的表达式？;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa对于三元线性方程组333231232221131211aaaaaaaaaD323122211211aaaaaa.312213332112322311aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaaD定义112233122331132132112332122133132231,aaaaaaaaaaaaaaaaaa111221222331323133aaaDaaaaaa为三元线性方程组的三阶行列式.沙路法列指标行指标333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa说明：三阶行列式包括6项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.322113aaa312312aaa312213aaa332112aaa16例：计算行列式112205333D在未介绍排列的逆序数之前，一般都按沙路法解：10315(3)01512156048(1)5(3)(2)2(3)(1)23(2)0(3)17112205333如果三元线性方程组的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD,0同样，利用三阶行列式求解三元线性方程组;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa18则三元线性方程组的解为:,11DDx,22DDx.33DDx,3333123221131112abaabaabaD.3323122221112113baabaabaaD,3332323222131211aabaabaabD19其中例：解线性方程组3215,529,21.xyzyzxyz351(2)(2)21013(2)1(2)0(1)152110,20解：第一步，写出系数行列式，计算是否为零321052211得方程组的解为:115DxD2111521952111D第二步，计算D1，D2，D323151092211D33215059211D第三步，求比值，-55-99-198229DxD3318DxD===可以验证和消元法的结果是一致的22能否定义4阶乃至一般的n阶行列式？思路一：求n阶方程的通解，找公共分母。太繁琐思路二：类比二，三阶行列式。11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaaaa但是对于四阶行列式而言无法使用对角线法则或沙路法23观察三阶行列式：123121322312313321aaaaaaaaa123121232312331312aaaaaaaaa行标均为123列标各不同：123231312132213321符号似乎与列指标的排列顺序有关24§1.2n阶排列及其逆序数、对换引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解：123123百位3种放法十位1231个位1232种放法1种放法种放法.共有3213!625定义：由自然数1，2，······，n组成的一个n元有序数组称为一个n阶排列.例如：3，4，2，15，1，2，3，42，3，2，1，4都是排列.问题：不同的n阶排列有个.n!定义：按数的大小次序，由小到大的排列称为自然排列.263，1，5，4都不是排列.定义：在一个排列(i1i2…it…is…in)中，若数itis，即一个较大的数字排在一个较小的数字之前（不须相邻），则称这两个数组成一个逆序.27定义：一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数，通常记为τ(i1i2…in).定义：逆序数为奇数的排列奇排列.逆序数为偶数的排列偶排列.分别计算出排在1,2,…,n-1前面比它大的数的个数，即分别算出1,2,…,n-1这n-1个元素的逆序数，记做τ1，τ2，…，τn-1,他们的和即为所求排列的逆序数，即τ(i1i2…in)=τ1+τ2+…+τn-1计算排列的逆序数的方法：注意：可以不计算n所对应的逆序数28例：求8阶排列57864312的逆序数和奇偶性。τ5=0，τ7=0，τ6=2，τ4=4，τ3=5，τ1=6，τ2=6τ(57864312)=23奇排列例：计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.2179863541解:453689712544310010(217986354)18逆序数为偶数.010013445212321nnn自然排列解：逆序数为零，偶排列29312321nnn解：12,21nn当时，逆序数为偶数；14,4kkn当时，逆序数为奇数.34,24kkn(12321)nnn2n32121nnn1n0123n2n1n这个特殊的问题还能用什么办法解决？数对2nC30实际应用当中我们往往并不关心绝对逆序数，而更关注排列相对的奇偶性变化思考：还有别的一般的计算逆序数的方法吗?定义：把一个排列中的任意两个数i,j交换位置，其余数字的位置不动，叫做对该排列作一次对换，记做(i,j)将相邻的两个数对换，称为相邻对换.11lmabaabb例如11lmbaaabb111lmnaabbcbca111lmnaabbcacb31注意：对换具有可逆性定理:一次对换改变排列的奇偶性．证明：先证简单的情形，相邻对换11lmijaabb对换i与jab11lmjiaabb除外，其它元素的逆序数不改变.,ij当ij时，对换后i的逆序数增加1,j的逆序数不变;32分两种情况讨论总逆序数增加1总逆序数减少1因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.当ij时，对换后i的逆序数不变,j的逆序数减少1;设排列为111lmnaabbcjci现来对换i与j33再来证一般情况，事实上任意对换都可以表示为一些相邻对换的组合次相邻对换m111lmnaabbijcc次相邻对换1m111lmnaabbcicj对换任意两个元素，排列改变奇偶性.111lmnaabbcjci共经过2m+1相邻对换34推论：排列经过奇数次对换其奇偶性发生改变,经过偶数次对换其奇偶性不变.推论：2n时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，各为n！/2个.证明设n个数的排列中，奇排列有p个，偶排列有q个，则p＋q＝n！对p个奇排列，施行同一对换，则由定理,得到p个偶排列,而且是p个不同的偶排列但总共只有有q个偶排列，所以pq同理qp所以2!nqp定理：1.任意一个n阶排列都可以经过一系列对换变成自然排列；2.且所作对换的次数与该排列有相同的奇偶性.1的证明：涉及到n的论断往往可用数学归纳法证明当n=1，2时，结论显然成立.假设结论对n-1阶排列成立,现证对n阶排列也成立.121,,,.nnjjjjn设是任一阶排列,njn若121,,,1.njjjn则是一个阶排列35由归纳法假设知，可经过一系列对换变成自然排列，从而可经过一系列对换变成自然排列.121,,,njjj121,,,,nnjjjj,njn若121121,,,,,,,,nnnjjjjjjjn又转换为第一种情形，故结论也成立.所以任意一个n阶排列都可以经过一系列对换变成自然排列.自然排列是偶排列：做奇数次对换，变为奇排列；做偶数次对换，变为偶排列。362的证明：推论：排列经过奇数次对换其奇偶性发生改变,经过偶数次对换其奇偶性不变.注意到我们证明过,),nnj则先作对换（推论任意两个n阶排列都可以经过一系列对换相互转换，而且若这两个排列的奇偶性相同，则所作的对换次数是偶数；若这两个排列的奇偶性相反，则所作的对换次数是奇数.37思考：能看出二三阶行列式与排列的关系吗？2111121212212221.aaaaaaaa1232313121123123123123123123322133,21aaaaaaaaaaaaaaaaaa3332312322