1111数列的概念及简单表示法

1数列的概念及简单表示法1.数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1an其中n∈N*递减数列an＋1an常数列an＋1＝an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.5.已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达.()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.()(3)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是an＝1＋－1n＋12.()(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()(5)在数列{an}中，对于任意正整数m，n，am＋n＝amn＋1，若a1＝1，则a2＝2.()2(6)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝121na，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项.()2.设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A.15B.16C.49D.643.已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10等于()A.1B.9C.10D.554.(2013·课标全国Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式是an＝________.5.(2013·安徽)如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等.设OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________.题型一由数列的前几项求数列的通项例1写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3333，….思维启迪先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系.思维升华根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.3(1)数列－1,7，－13,19，…的一个通项公式是an＝________.(2)数列{an}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是an＝________.题型二由数列的前n项和Sn求数列的通项例2已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.思维升华数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________________.题型三由数列的递推关系求数列的通项公式例3(1)设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝________.(2)数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，则它的一个通项公式为an＝________.(3)在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝n＋23an.则{an}的通项公式为________.思维启迪观察递推式的特点，可以利用累加(乘)或迭代法求通项公式.思维升华已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解.当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现anan－1＝f(n)时，用累乘法求解.4(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)，则an＝________.(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5等于()A.－16B.16C.31D.32数列问题中的函数思想典例：(12分)已知数列{an}.(1)若an＝n2－5n＋4，①数列中有多少项是负数？②n为何值时，an有最小值？并求出最小值.(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1an.求实数k的取值范围.思维启迪(1)求使an0的n值；从二次函数看an的最小值.(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N*上单调递增，但自变量不连续.从二次函数的对称轴研究单调性.温馨提醒(1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N*上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决.(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取.(3)易错分析：本题易错答案为k－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.5方法与技巧1.求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调an与Sn的关系：an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2.3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有二种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式.失误与防范1.数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列an＝f(n)和函数y＝f(x)的单调性是不同的.2.数列的通项公式不一定唯一.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于()A.－1n＋12B.cosnπ2C.cosn＋12πD.cosn＋22π2.数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于()A.3×44B.3×44＋1C.45D.45＋13.若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于()A.15B.12C.－12D.－154.已知数列{an}的通项公式为an＝(49)n－1－(23)n－1，则数列{an}()A.有最大项，没有最小项B.有最小项，没有最大项C.既有最大项又有最小项D.既没有最大项也没有最小项65.若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝nn＋1，则1a5等于()A.56B.65C.130D.30二、填空题6.已知数列{n2n2＋1}，则0.98是它的第________项.7.数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________.8.已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________.三、解答题9.数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？10.已知数列{an}的通项公式为an＝9nn＋110n，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最大项是多少？若没有，说明理由.B组专项能力提升(时间：30分钟)1.跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为()A.8种B.13种C.21种D.34种2.数列{an}满足an＋an＋1＝12(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为()A.5B.72C.92D.1323.若数列{n(n＋4)(23)n}中的最大项是第k项，则k＝________.4.已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝2an＋1，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)判断数列{cn}的增减性.5.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围.7等差数列及其前n项和1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.3.等差中项如果A＝a＋b2，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列.(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.5.等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋an2或Sn＝na1＋nn－12d.6.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数).7.等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最__大__值；若a10，d0，则Sn存在最__小__值.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.()(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.()(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()8(5)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列.()(6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列.()2.设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1等于()A.18B.20C.22D.243.(2012·辽宁)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于()A.58B.88C.143D.1764.(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于()A.3B.4C.5D.65.(2013·课标全国Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________.题型一等差数列的基本运算例1在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值.思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解