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自学导引1．在数学中，“算法”通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的________．2．计算机解决任何问题都要依赖于________，只有将解决问题的过程分解为若干个明确的________，即________，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题．步骤算法步骤算法自主探究1．解决某一类问题的算法是否唯一？【答案】不唯一．如解二元一次方程组的算法有加减消元法和代入消元法两种，但不同的算法有优劣之分．2．在解放战争中，有一名战士接到命令，要求在最短的时间内配制三副炸药，但是由于条件艰苦，称量物品的天平只剩下50g和5g两个砝码．现有495g硫黄，如何设计算法使称量的次数最少？需称量多少次？【答案】S1先计算出495g硫黄如果平均分成三份每一份应该是165g.S2165g中有3个5g和3个50g.S3用5g砝码称出5g硫黄．S4用5g砝码和5g硫黄共同称出10g硫黄．S5再用50g砝码称出50g硫黄．S6用50g砝码和50g硫黄共同称出100g硫黄．S7把5g、10g、50g、100g硫黄混合，构成165g硫黄，也就是一份的质量．S8用这一份硫黄再称出165g.此时全部硫黄被平均分成三份，按照以上算法共需要称量5次．预习测评1．下列不能看成算法的是()A．洗衣机的使用说明书B．烹制油焖大虾的菜谱C．从山东省莱芜市乘汽车到北京，在北京坐飞机到纽约D．李明不会做饭【答案】D2．有关算法的描述有下列几种说法：①对一类问题都有效；②对个别问题有效；③计算可以一步一步地进行，每一步都有唯一的结果；④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果．其中描述正确的个数为()A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，所以①正确；②错误．由于程序必须是明确的，有效的，而且在有限步内完成，所以③④正确．故选C.3．下列哪个不是算法的特征()A．有限性B．普遍性C．确定性D．唯一性【答案】D4．将下列用二分法求方程“x2－5＝0”的近似解的算法补充完整：第一步，令f(x)＝x2－5，给定精确度d.第二步，确定区间[a，b]，满足f(a)·f(b)0.第三步，取区间中点m＝________.第四步，判断f(m)＝0？若是，则m为零点．否则执行下一步．第五步，若f(a)·f(m)0，则含零点的区间为[a，m]；否则，含零点的区间为[m，b]．将新得到的含零点的区间仍记为[a，b]．第六步，判断[a，b]的长度是否小于d或f(m)是否等于0.若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步．a＋b2要点阐释1．算法概念的理解(1)算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．这些步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．(2)算法与一般意义上具体问题的解法既有联系，又有区别．它们之间是一般和特殊的关系，也是抽象与具体的关系．(3)算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有高度的抽象性、概括性、精确性，所以算法在解决问题时更具有条理性、逻辑性等特点．2．算法的特征(1)概括性：写出的算法必须能够解决某一类问题，并且能够重复使用．(2)逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的，从而组成具有很强逻辑性的步骤序列．(3)有穷性：一个算法必须保证在执行了有限步之后结束．(4)不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，也可以有不同的算法，这些算法有繁简、优劣之分．(5)普遍性：很多具体问题，都可以设计合理的算法去解决．3．设计算法的要求(1)写出的算法必须能解决一类问题(如，判断一个整数n(n2)是否为质数，求任意一个方程的近似解等)，并且能够重复使用．(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少．(3)要保证算法正确，且计算机能够执行，如让计算机计算1＋2＋3＋4＋5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”、“替我理发”等则是做不到的．典例剖析题型一对算法概念的理解【例1】下列关于算法的说法，正确的个数有()①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生确定的结果．A．1B．2C．3D．4思路点拨：根据算法概念来解答．【解析】由于算法具有有穷性、确定性、输出性等特点，因而②③④正确，而解决某类问题的算法不一定唯一，从而①错．【答案】C1．下列对算法的理解不正确的是()A．一个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的B．算法中的每一步骤都应当是确定的，而不应当是含糊的、模棱两可的C．算法中的每一步骤都应当有效地执行，并得到确定的结果D．一个问题只能设计出一种算法【答案】D题型二计算问题的算法设计【例2】给出求1＋2＋3＋4＋5的一个算法．思路点拨：可以从前向后逐一求和，也可以设计一个变量S，将1至5个数依次加给S.【解析】解法一：第一步，计算1＋2，得3.第二步，将第一步中运算结果3与3相加，得6.第三步，将第二步中运算结果6与4相加，得10.第四步，将第三步的运算结果10与5相加，得15.第五步，输出运算结果．解法二：第一步，取n＝5.第二步，计算nn＋12.第三步，输出运算结果．2．求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法．【解析】算法如下：第一步，先求1×3，得到结果3.第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15.第三步，再将15乘以7，得到结果105.第四步，再将105乘以9，得到945.第五步，再将945乘以11，得到10395.第六步，输出运算结果．题型三算法的应用【例3】写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．思路点拨：确定求解过程，写出算法．【解析】解法一：第一步，将方程左边因式分解，得(x－3)(x＋1)＝0.①第二步，由①得x－3＝0，②或x＋1＝0.③第三步，解②得x＝3，解③得x＝－1.解法二：第一步，移项，得x2－2x＝3.①第二步，①两边同加1并配方，得(x－1)2＝4.②第三步，②式两边开方，得x－1＝±2.③第四步，解③得x＝3或x＝－1.3．写出能找出a，b，c三个数中最小值的一个算法．【解析】第一步，输入a、b、c，并且假定min＝a.第二步，若bmin成立，则用b的值替换min；否则直接执行下一步．第三步，若cmin成立，则用c的值替换min，否则直接执行下一步．第四步，输出min的值，结束．题型四非数值性问题的算法设计【例4】各种比赛在计算选手最后得分时，要去掉所有评委对该选手所打分数中的最高分和最低分，试设计一个找出最高分的算法．思路点拨：假定第一个为“最高分”，将第二个至最后一个依次与“最高分”比较，若该分数比“最高分”大则交换，否则不变，输出最高分．【解析】算法如下：第一步，先假定其中一个为“最高分”．第二步，将第二个分数与“最高分”比较，如果它比“最高分”还高，就用该分数替代原假定的“最高分”而得出新的“最高分”；否则“最高分”不变．第三步，如果还有其他分数，重复第二步．第四步，一直到没有可比的分数为止，这时的“最高分”就是所有评委打分中的最高分．方法点评：非数值性计算问题，如排序、查找、变量变换、文字处理等需先建立过程模型，通过模型进行算法设计与描述，设计具体的数学问题的算法，实际上就是寻求一类问题的算法，它可以通过计算机来完成．4．若本例中已知条件不变，试设计一个找出最低分的算法．【解析】算法如下：第一步，先假定其中一个为“最低分”．第二步，将第二个分数与“最低分”比较，如果它比“最低分”还低，就用该分数替代原假定的“最低分”而得出新的“最低分”；否则“最低分”不变．第三步，如果还有其他分数，重复第二步．第四步，一直到没有可比的分数为止，这时的“最低分”就是所有评委打分中的最低分．误区解密【例5】设计一个算法，求1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10的值．错解：第一步，计算1＋2的值为3.第二步，将3加到上一步的结果中，3＋3＝6.……第九步，将10加到上一步的结果中，45＋10＝55.第十步，输出结果为55.错因分析：在解决该题过程中，易出现用省略号替代中间步骤的情况，导致这种错误的原因是没有正确理解算法的确定性．正解：第一步，计算1＋2的值为3.第二步，将3加到上一步的结果中，3＋3＝6.第三步，将4加到上一步的结果中，6＋4＝10.第四步，将5加到上一步的结果中，10＋5＝15.第五步，将6加到上一步的结果中，15＋6＝21.第六步，将7加到上一步的结果中，21＋7＝28.第七步，将8加到上一步的结果中，28＋8＝36.第八步，将9加到上一步的结果中，36＋9＝45.第九步，将10加到上一步的结果中，45＋10＝55.第十步，输出结果为55.课堂总结1．正确理解算法的概念，一个程序的算法要本着方便简捷的原则，还要讲求科学性，算法的步骤是按照一定顺序进行的，不具有可逆性．2．在设计算法的过程当中要牢固把握住它的五个特性：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性.