111集合的含义与表示(两课时)

1第一课时1.1.1集合的含义与表示（一）一.教学目标：l.知识与技能(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；(2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；(4)会用集合语言表示有关数学对象；(5)培养学生抽象概括的能力.2.过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.(2)让学生归纳整理本节所学知识.3.情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.二.教学重点.难点重点：集合的含义与表示方法.难点：表示法的恰当选择.三.学法与教学用具1.学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2.教学用具：投影仪.第一课时一、内容分析：集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件。在高中数学中，集合与其他内容有着密切联系奎屯王新敞新疆例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合奎屯王新敞新疆这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念奎屯王新敞新疆学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义奎屯王新敞新疆集合是集合论中的原始的、不定义的概念奎屯王新敞新疆在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识。奎屯王新敞新疆教科书给出的“一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成为一个集合奎屯王新敞新疆”这句话，只是对集合概念的描述性说明奎屯王新敞新疆二、讲授新课：1．集合的概念（1）集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成为一个集合（set）。常用大写的拉丁字母来表示，如集合A、集合B。（2）元素：集合中每个对象称为该集合的元素（element），简称元奎屯王新敞新疆集合的元素常用小写的拉丁字母来表示，如a、b、c……2．关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）无序性：集合中的元素是无先后顺序的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素可以交换位置.3．常用数集及记法（1）自然数集：全体非负整数的集合奎屯王新敞新疆记作N，,2,1,0N（2）正整数集：自然数集内排除0的集合奎屯王新敞新疆记作N*或N+，,3,2,1*N（3）整数集：全体整数的集合奎屯王新敞新疆记作Z,，，，210Z2（4）有理数集：全体有理数的集合奎屯王新敞新疆记作Q（5）实数集：全体实数的集合奎屯王新敞新疆记作R．4．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto)A，记作a∈A．注意“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写奎屯王新敞新疆（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于(notbelongto)A，记作aA第二课时5．集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；各元素之间用逗号分开。注：1．大括号不能缺失.2．有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3，…，100}自然数集N：{1，2，3，4，…,n,…}３．区分a与{a}：{a}表示一个集合，该集合只有一个元素.a表示这个集合的一个元素.４．用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.（2）描述法：把集合中的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{|()}xpx的形式。例如，不等式232xx的解集可以表示为：}23|{2xxRx或}23|{2xxx，所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形xx，直线x-3y+2=0上的点的集合可以表示为：{(,)|320}xyxy注：１．在不致混淆的情况下，也可以写成：{直角三角形}；{大于104的实数}２．注意区别：实数集，{实数集}.（3）何时用列举法？何时用描述法？1．有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法奎屯王新敞新疆如：集合},5,23,{2232yxxyxx2．有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法奎屯王新敞新疆如：集合}1|),{(2xyyx；集合{1000以内的质数}例集合}1|),{(2xyyx与集合}1|{2xyy是同一个集合吗？答：不是奎屯王新敞新疆因为集合}1|),{(2xyyx是抛物线12xy上所有的点构成的集合，集合}1|{2xyy=}1|{yy是函数12xy的所有函数值构成的数集奎屯王新敞新疆（4）文恩（Venn）图示意6．两个集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，则称这两个集合相等。7．集合的分类（1）有限集（finiteset）：含有有限个元素的集合奎屯王新敞新疆（2）无限集(infiniteset)：含有无限个元素的集合奎屯王新敞新疆（3）空集(emptyset)：不含任何元素的集合奎屯王新敞新疆记作Φ，如：}01|{2xRx三、例题1．下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数奎屯王新敞新疆（不确定）（2）好心的人奎屯王新敞新疆（不确定）（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）2．由实数x,－x,｜x｜,332,xx所组成的集合，最多含（A）奎屯王新敞新疆3（A）2个元素（B）3个元素（C）4个元素（D）5个元素3．集合xxx2,,32中，x应满足的条件是________________。解：根据构成集合的元素的互异性，x应满足：xxxxxxxxx2.10332322且且变：若203,,2xxx，则x=______________4．用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13}}5,23|{nNnnxx且②{-2，-4，-6，-8，-10}}5,2|{nNnnxx且5．用列举法表示下列集合①{x∈N|x是15的约数}{1，3，5，15}②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}③}422|),{(yxyxyx)}32,38{(④},)1(|{Nnxxn{-1，1}⑤},,1623|),{(NyNxyxyx{（0，8）（2，5），（4，2）}⑥}4,|),{(的正整数约数分别是yxyx{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}6．已知2{2,,},{2,2,}MabNab，且MN，求,ab的值答案：0,1ab或11,42ab7．关于x的方程ax＋b=0，当a,b满足条件____时，解集是有限集；当a,b满足条件_____时，解集是无限集8．下面三个集合①1|2xyx；②1|2xyy；③1|,2xyyx。（1）它们是不是相同的集合？（2）它们各自的含义是什么？解：（1）不是相同的集合。（2）集合①是函数12xy的自变量x所允许值所组成的集合，因为x可以取任意实数，所以1|2xyx=R。集合②是函数12xy的所有函数值y组成的集合，由二次函数图象知，1y，所以1|1|2yyxyy。集合③是函数12xy图象上的所有点的坐标组成的集合。9．已知集合A=Raxaxx,023|2，若A中元素至多只有一个，求a的取值范围。解：（1）a=0时，原方程为32023xx，符合题意。（2）0a时，方程0232xax为一元二次方程，89089aa。4∴当89a时，方程0232xax无实根或有两个相等实数根，这都符合题意。综合（1）（2），知a=0或89a。*10．设集合G中的元素是所有形如a＋b2（a∈Z,b∈Z）的数，求证：(1)当x∈N时,x∈G;(2)若x∈G，y∈G，则x＋y∈G，而x1不一定属于集合G奎屯王新敞新疆证明(1)：在a＋b2（a∈Z,b∈Z）中，令a=x∈N,b=0,则x=x＋02=a＋b2∈G,即x∈G证明(2)：∵x∈G，y∈G，∴x=a＋b2（a∈Z,b∈Z）,y=c＋d2（c∈Z,d∈Z）∴x+y=(a＋b2)+(c＋d2)=(a+c)+(b+d)2∵a∈Z,b∈Z,c∈Z,d∈Z∴(a+c)∈Z,(b+d)∈Z∴x+y=(a+c)+(b+d)2∈G，又∵211bax＝2222222babbaa且22222,2babbaa不一定都是整数，∴211bax＝2222222babbaa不一定属于集合G奎屯王新敞新疆五、小结：六、附录：康托尔简介奎屯王新敞新疆由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度奎屯王新敞新疆在1874—1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战奎屯王新敞新疆他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应奎屯王新敞新疆这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内5部的点都“一样多”，后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论奎屯王新敞新疆康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂奎屯王新敞新疆有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”奎屯王新敞新疆来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院奎屯王新敞新疆真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩奎屯王新敞新疆1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作奎屯王新敞新疆”可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦奎屯王新敞新疆1918年1月6日，康托尔在一家精神病院去世奎屯王新敞新疆集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣奎屯王新敞新疆康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础奎屯王新敞新疆康托尔创立了集合论作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础奎屯王新敞新疆从而解决17世纪牛顿（I.Newton，1642－1727）与莱布尼茨（G.W.Leibniz，1646－1716）创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里，微积分理论所缺乏的逻辑基础和从19世纪开始，柯西（A.L.Cauchy，1789－1857）、魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass，1815－1897）等人进行的微积分理论严格化所建立的极限理论奎屯王新敞新疆克隆尼克（L.Kronecker，1823－1891），康托尔的老师，对康托尔表现了无微不至的关怀奎屯王新敞新疆他用各种用得上的尖刻语言，粗暴地、连续不断地攻击康托尔达十年之久奎屯王新敞新疆他甚至在柏林大学的学生面前公开攻击康托尔奎屯王新敞新疆横加阻挠康托尔在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位奎屯王新敞新疆使得康托尔想在柏林得到职位而改善其地位的任何努力都遭到挫折奎屯王新敞新疆