1122010120-杜云鹏-洲际弹道导弹突防与拦截

2013年6月10日洲际弹道导弹突防与拦截June10,20131洲际弹道导弹突防与拦截杜云鹏（上海理工大学理学院2011级数学与应用数学1班1122010120上海200093）[摘要]：在当前国际形势日益复杂多变的环境下，一个国家的战略核威慑力尤为关键；战略核威慑力不仅仅取决于核武器数量的多少，更取决于该国核打击能力的强弱，主要包括二次核打击能力（三位一体的核打击力）和洲际弹道导弹突防与拦截能力两个方面。本文根据简单物理学与弹道导弹的相关知识，应用插值拟合等方法，对洲际弹道导弹的突防与拦截化繁为简建立简单的数学模型，并对提高导弹生存能力（即突防能力）和增强洲际弹道导弹拦截能力提出一定看法和建议。[关键词]：洲际弹道导弹，插值拟合[4]，突防，拦截引言：一国战略核威慑力中，洲际弹道导弹的突防与拦截能力尤为重要。洲际弹道导弹，通常指射程大于8000公里的远程弹道式导弹。它是战略核力量的重要组成部分，主要用于攻击敌国领土上的重要军事、政治和经济目标。洲际弹道导弹具有比中程弹道导弹、短程弹道导弹和新命名的战区弹道导弹更长的射程和更快的速度。[3]（弹道导弹是一种导弹，通常没有翼，在烧完燃料后只能保持预定的航向，不可改变，其后的航向由弹道学法则支配。为了覆盖广大的距离，弹道导弹必需发射很高，进入空中或太空，进行亚轨道宇宙飞行；对于洲际导弹，中途高度大约为1200公里）。[2]如今拥有弹道导弹技术的国家越来越多，诸多国家也在研发洲际弹道导弹技术；一国一旦拥有核武器和洲际弹道导弹技术，就将对别国拥有一定的核威慑力，这也就是为什么美国对朝鲜和伊朗如此强硬的原因（朝鲜弹道导弹技术比较成熟，前不久又具备了运用远程火箭发射卫星的能力（其技术与洲际弹道导弹技术类似），而伊朗以掌握民用铀浓缩技术（深入研究即可武器化，进而可研制出核武器），两国均与美国交恶，一旦两国核武器技术和洲际弹道导弹技术成熟，就将对美国本土产生一定的核威慑力）。导弹的生存能力即突防能力是核威慑力的重要保障；突防能力强，生存率高，击中目标的导弹数量多，核威慑力就能充分发挥；反之，导弹防御系统即导弹拦截能力强，能击中本土目标的导弹数量少，核威慑力将大打折扣。美国在全球部署其导弹防御系统（NMD系统）[8]，像日本、韩国、东欧等，意图在保障自身战略核威慑力的同时，削弱中俄等国的核威慑力，一旦其导弹防御系统全面完善，势必将严重影响我国的战略核威慑力，威胁国家安全[5]。我国近几年来一方面不断加大洲际导弹研发，超远程多弹头超高速等一批新型具备一定突防能力的洲际弹道导弹开始列装部队；同时逐步建立中国自己的反导系统，借助北斗卫星导航系统，结合自身雷达探测系统与空中预警机（空警2000，空警200），配合地面与海上反导部队，构筑全天候立体化空防一体的导弹防御系统；另外增加战略核掩体的挖掘与海军战略导弹核潜艇（094级）、空军战略轰炸机的研发列装，有效的保障了我国的二次核打击力。2013年6月10日洲际弹道导弹突防与拦截June10,20132问题引入：本文主要讨论简化后洲际弹道导弹的突防与拦截，在二维平面内，对导弹弹道轨迹进行插值拟合，并应用牛顿运动定律、天体力学、动力学对导弹运动进行分析。根据弹道导弹在飞行中发动机和控制系统工作与否，其弹道轨迹可分为两段，动力飞行段(简称主动段，即助推段，耗时大约3-5min)和无动力飞行段（简称被动段）；其中被动段又根据弹头所受空气阻力大小分为自由段（即中段，主动段终点大气十分稀薄，可认为此段导弹飞行不受空气阻力影响，此段占整个弹道的80%-90%，且此段内弹头与弹体分离）和再入段（弹头重新进入稠密大气）。主动段是从导弹离开发射台到发动机熄火的一段弹道。在这段弹道，由于发动机和控制系统一直工作，因而称之为主动段。在该段的飞行特点是：作用在弹上的力和力矩有地球引力、空气动力、发动机推力、控制力以及它们相对导弹质心所产生的相应力矩。推力主要用来克服地球引力和空气阻力并使导弹作加速运动。从头体分离到弹头落地的一段弹道称为被动段弹道。在无控制的情况下，弹头依靠在主动段终点，所获得的能量作惯性飞行。[1]模型假设：结合实际情况，简化后做出以下假设：1.甲国准备从A（0,0）向乙国B（X2，0）发射弹道导弹，两地相距Xkm；2.乙国有卫星可全天候监视甲国，甲国一旦发射导弹，乙国即可知晓，不过须经Ts才可得知导弹具体攻击地点并做出反应；3.乙国的导弹防御系统位于A、B连线上一点C(X1，0)，可发射导弹拦截敌方导弹；4.乙国发射的拦截导弹将一直处于匀速飞行状态，且一旦设定飞行方向将沿直线飞行；拦截导弹时速为V2km/s5.甲国向乙国发射导弹属突发情况且保密性强，乙国无法事先预知；6.甲国发射的导弹需时T＇才可击中C点，其主动段飞行时间为T＂；7.由于空气阻力、天气因素以及卫星信号传输时间等影响，无法准确得出每一时刻甲国发射的导弹位置，但可得一些不连续的攻击导弹的速度（大小和放向）和位置（水平坐标和高度）的数据；8.甲国发射导弹在主动段飞行期间，速度是持续增大的；导弹在主动段和被动段飞行期间其弹道都是光滑的；由以上假设可知：1)若TT＇，则乙国预警系统还未启动即已遭到打击；2)若T＂TT＇，则乙国在攻击导弹进入被动段后才发现，并做出预警；3)若T＂T，则乙国在攻击导弹在主动段时即发现，并做出预警；模型建立与求解：根据预警时间T与主动段飞行时间T＂的大小关系，分以下两种情况讨论:A.T＂TT＇，乙国在攻击导弹进入被动段后才发现，并做出预警；由假设可知，导弹再进入被动段后将无发动机与控制系统控制，完全由导弹自身惯性及地球引力影响（忽略空气阻力影响），其弹道轨迹为类抛物线；由某一时刻导弹方位（水平坐标及高度）和导弹速度（大小及方向），即可大致推出2013年6月10日洲际弹道导弹突防与拦截June10,20133攻击导弹弹道；若有较多数据，也可通过插值拟合的方法算出攻击导弹大致轨迹。a)已知导弹在T1（TT1T＇）时刻，其坐标为（X3，H1），X3X2，H1单位：km；其速度大小为V1km/s，速度方向与水平方向成𝜃度，地球表面重力加速度为g，地球是为球体半径为R；因为一般H1R，则认为g不变化；以A点为原点，建立坐标轴；由物理学相关知识可得：i.导弹在T1时刻，斜向上飞行（即乙国在攻击导弹被动段较早定位）V1*sin𝜃=g*tS1=V1*cos𝜃*t=V12∗sin𝜃∗cos𝜃/g抛物线顶点坐标为（X3+s1，H1+(V12×sin2θ)(2∗g)⁄）攻击导弹弹道为（即抛物线方程）：(x-X3-S1)2=(-2gS12/V12sin2𝜃)(y-H1-(V12×sin2θ)(2∗g)⁄)得到攻击导弹弹道数据后，乙国可根据自身需要及C点位置和拦截导弹速度，自由决定拦截方位，假定乙国想在P点拦截攻击导弹，P点距B点X4m；带入抛物线方程可得，P点坐标为（X2-X4，V12sin2𝜃(X2-X4-X3-S1)2/(-2gS12)+H1+(V12×sin2θ)(2∗g)⁄)（X2-X4X3）攻击导弹从T1时刻到到达P点需时（认为计算机计算弹道课瞬间完成）T攻=（X2-X4-X3）/V1*cos𝜃拦截导弹从T1时刻发射到到达P需时（认为得到弹道即可发射）：T拦={(X1-X2+X4)2+[V12sin2𝜃(X2-X4-X3-S1)2/(-2gS12)+H1+(V12×sin2θ)(2∗g)⁄]2}/V2ii.导弹在T1时刻，斜向下飞行（即乙国在攻击导弹被动段很晚定位）V1*sin𝜃=g*tS1=V1*cos𝜃*t抛物线顶点坐标为（X3-s1，H1+(V12×sin2θ)(2∗g)⁄）攻击导弹弹道为（即抛物线方程）：(x-X3-S1)2=(-2gS12/V12sin2𝜃)(y-H1-(V12×sin2θ)(2∗g)⁄)得到攻击导弹弹道数据后，乙国可根据自身需要及C点位置和拦截导弹速度，自由决定拦截方位，假定乙国想在P点拦截攻击导弹，P点距B点X4km；带入抛物线方程可得，P点坐标为（X2-X4，V12sin2𝜃(X2-X4-X3-S1)2/(-2gS12)+H1+(V12×sin2θ)(2∗g)⁄)（X2-X4X3）攻击导弹从T1时刻到到达P点需时（认为计算机计算弹道课瞬间完成）：T攻=（X2-X4-X3）/V1*cos𝜃拦截导弹从T1时刻发射到到达P需时（认为得到弹道即可发射）：T拦=√{(X1-X2+X4)2+[V12sin2𝜃(X2-X4-X3-S1)2/(-2gS12)+H1+(V12×sin2θ)(2∗g)⁄]2}/V2由此可见以上两种情况结果相同，且所给参数V1，X3，X2，H1，𝜃间有一定关系。由以上解答可知，只要T拦T攻，乙国就可以在P点拦截住甲国的攻击导弹；反之，若T拦T攻,则在P点乙国拦截失败，可能要再次拦截。由于此种方法（此方法为现在大多数导弹防御系统计算弹道的最基本原理，不过诸多数据有预警卫星或预警雷达获知，其获知信息更多，计算也更精确，如DSP预警系统[10]），只采用一个值，误差较大；不仅是其方位及速度有误差，其弹道轨迹非完全抛物线，只是类抛物线，按此种方法算，可能拦截效果不佳。我们采集多组数据，利用插值拟合的方法计算出其弹道轨迹，再利用简单物理学知2013年6月10日洲际弹道导弹突防与拦截June10,20134识计算拦截时间。b)设T＂=3min，T=4min，X2=10000.2km；反导系统监测到的攻击导弹的方位数据如下：时间240s360s480s560s720s780s900s940s1000s坐标(1000,590)(2100,800)(3200,943)(4000,1000)(5500,960)(6000,920)(7000,790)(7500,700)(8000,600)通过数学软件拟合，攻击导弹弹道为(以高度为纵轴，水平距离为横轴)：y=-0.0000331x2+0.298579x+324.292设X4=1000km，得到攻击导弹弹道数据后，乙国可根据自身需要及C点位置和拦截导弹速度，自由决定拦截方位，假定乙国想在P点拦截攻击导弹，P点在B点与A点连线上，距B点X4km入抛物线方程可得，P点坐标为（9000，330.403）由导弹弹道可粗略计算出攻击导弹水平速度为：9.210526km/s自最后一次测量数据，攻击导弹到达P点需时：T攻=108.57s位于C点的拦截导弹到达P的时间为：T拦=√(X1−9000)2+330.4032V2由以上解答可知，只要T拦T攻(由X1和V2决定)，乙国就可以在P点拦截住甲国的攻击导弹；反之，若T拦T攻,则在P点乙国拦截失败，可能要再次拦截。B.T＂T，乙国在攻击导弹在主动段时即发现，并做出预警；（预警地点距离发射地很近）由假设及资料可知，导弹在主动段飞行，其轨迹大约为类椭圆轨道；[1]我们利用攻击导弹在主动段的多组数据（方位，速度）拟合出其在主动段弹道；假设攻击导弹在T＂时速度和方位（即主动段与自由段衔接处）与T1时相近，即此种情况下拦截导弹在被动段拦截与A情况类似，在此我们仅讨论拦截在主动段发生。设T＂=5min，T=3min，X2=10000km；反导系统监测到的攻击导弹的方位数据如下：2000400060008000100001200014000250020001500100050050010002013年6月10日洲际弹道导弹突防与拦截June10,20135时间180s200s210s215s220s240s250s270s300s坐标(140,170)(160,195)(175,210)(190,230)(210,250)(330,270)(400,300)(550,350)（850,400）经拟合得攻击导弹弹道为(以高度为纵轴，水平距离为横轴)：y=-0.000337816x2+0.639x+100.512得到攻击导弹弹道数据后，乙国可根据自身需要及C点位置和拦截导弹速度，自由决定拦截方位，假定乙国想在P点拦截攻