112余弦定理

〖题号〗1〖分类〗例题〖标记〗〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★〖题型〗填空题〖题干〗在中，则____。〖答案〗√〖解析〗由条件已知三角形的两边及其夹角，故可以直接利用余弦定理求得边AC，即。所以√。〖题号〗2〖分类〗例题〖标记〗〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★★〖题型〗解答题〖题干〗已知三角形两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是方程的根，求三角形的第三边的长。〖解答〗解方程，得(舍去)。故两边夹角的余弦值为。由余弦定理，得第三边边长的平方为。故所求边长为√。〖点拨〗本题考查余弦定理的应用。已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理直接求解即可。将余弦定理与方程综合在一起，使本题具有一定的综合性。〖题号〗3〖分类〗例题〖标记〗〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★〖题型〗单项选择〖题干〗的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则等于()A.B.C.√D.√〖答案〗B〖解析〗因为，且，由余弦定理的推论，。〖题号〗4〖分类〗例题〖标记〗〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★★〖题型〗解答题〖题干〗在中，已知：：，求。〖解答〗根据正弦定理，得，令，由余弦定理的推论，得，同理，，故。〖点拨〗求三角形三个内角的余弦值，可通过三角形的三边，利用余弦定理求得，所以如何求三边成为关键，结合已知条件，利用正弦定理将三个内角的正弦之比转化为三边之比，问题即可得到解决。由设是处理这一类比例式问题的常用方法。〖题号〗5〖分类〗例题〖标记〗〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★★〖题型〗解答题〖题干〗在中，(1)，求c；(2)√，求最大角；(3)√，求A、B、C。〖解答〗(1)由余弦定理，，√。(2)由，知C最大，，。(3)√，设√。由余弦定理，√√，。同理，。〖点拨〗本题考查余弦定理及其变形公式的应用，直接利用公式求解即可。(1)三角形的大角可由大边对大角来进行判断，若同时成立，则A为最大角。(2)已知三角形的三边求角，可先用余弦定理求一角，再继续用余弦定理求其他角。也可用正弦定理求另一个角，进而求出第三个角。用正弦定理求角时，要注意根据大边对大角的原理确定角的大小。〖题号〗6〖分类〗例题〖标记〗〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★★〖题型〗解答题〖题干〗在中√√√，解三角形。〖解答〗解法一：根据余弦定理，(√)(√√)√√√，√。√√√√√√，。解法二：同解法一，可得√。√√√，。A一定是锐角。由正弦定理，得√√√。。〖点拨〗可以利用余弦定理先求出b，再利用余弦定理求A或C；也可利用余弦定理先求出b，再利用正弦定理求A或C。两个方法的选择需根据题目的条件而定，一般地，若能比较出a与c的大小，选择解法二计算量小些，若a，c不易比较大小，采用余弦定理可以避免讨论，求第三个角要用三角形内角和定理。〖题号〗7〖分类〗例题〖标记〗〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★★〖题型〗证明题〖题干〗在中，A、B、C的对边分别为a、b、c，求证：。〖解答〗证明由正弦定理，得(R为外接圆的半径)，由余弦定理，有，右边左边，〖点拨〗本题考查三角恒等式的证明问题。在本题中，等式的左边是三角形中的三边关系，右边是三角关系，因而必须把两边化为统一的形式，可将等式右边化为边的关系来证明。合理选择边角互化的方向是解题技巧之一，若本题中采用化边为角，则较难证明，即左边，再往下化简就较难了。可见，化边为角与化角为边并不是对每个题都适用，应根据实际问题合理选择，切忌搬硬套，当一种方法不好用时，要注意换另一种方法来求解。〖题号〗1〖分类〗真题〖标记〗2011重庆〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★〖题型〗单项选择〖题干〗若的内角A、B、C满足则()A.√BC.√D.〖答案〗D〖解析〗根据正弦定理把已知条件转化为，，，。故选D。〖点拨〗利用正弦定理和已知条件得出三边之间的关系，再利用余弦定理求解。〖题号〗2〖分类〗真题〖标记〗2012陕西〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★〖题型〗填空题〖题干〗在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若π√则____。〖答案〗2〖解析〗由余弦定理，√√，。〖点拨〗直接利用余弦定理求解即可。〖题号〗3〖分类〗真题〖标记〗2012重庆〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★〖题型〗填空题〖题干〗设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则____。〖答案〗√〖解析〗，，。，√。又，√。〖点拨〗先利用余弦定理求c，再利用b、c关系可得sinB.〖题号〗4〖分类〗真题〖标记〗2012上海〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★〖题型〗单项选择〖题干〗在中，若，则的形状是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定〖答案〗A〖解析〗由正弦定理得，故，所以C为钝角，故选A。〖点拨〗利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理的推论进行判断。〖题号〗5〖分类〗真题〖标记〗2010上海〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★〖题型〗单项选择〖题干〗若的三个内角满足，则()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形〖答案〗C〖解析〗在中，˙。故令，。又π，ππ，为钝角三角形，故选C。〖点拨〗根据正弦定理得出三边长，再利用余弦定理的推论进行判断。〖题号〗6〖分类〗模拟〖标记〗2013东北三校第二次联考〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★〖题型〗单项选择〖题干〗在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，则是()A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形〖答案〗A〖解析〗因为及，所以则是直角三角形，故选A。〖点拨〗利用半角公式结合已知条件可得的边角关系，从而可判断三角形的形状。〖题号〗7〖分类〗真题〖标记〗2012课标全国〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★★〖题型〗解答题〖题干〗已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，√。(1)求A；(2)若的面积为√求b，c。〖解答〗(1)由√及正弦定理得√。由于，所以π。又π，故π。(2)的面积√，故。而，故。解得。〖点拨〗(1)利用正弦定理将已知条件化边为角，求得关于A的三角函数值，进而求得A；(2)利用三角形面积公式得出bc的值，再利用余弦定理构造关于b、c的方程组求解即可。〖题号〗8〖分类〗真题〖标记〗2010浙江〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★★〖题型〗解答题〖题干〗在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为的面积，满足√。(1)求角C的大小；(2)求的最大值。〖解答〗(1)由题意可，知√，所以√。因为π，所以π。(2)由已知ππ√√π√。当为正三角形时取等号，所以的最大值是√。〖点拨〗(1)利用已知系数和余弦定理求得的值，进而求得角C；(2)将变形后再利用三角函数的有界性求解。〖题号〗1〖分类〗例题〖标记〗〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★★〖题型〗解答题〖题干〗在中，，试判断的形状。〖解答〗解法一：，，，，即，为等腰三角形，解法二：，，，。又π，π，ππ，，即，为等腰三角形。〖点拨〗若已知条件既含有边又含有角，一般应用正、余弦定理完成边角转化，化为只含边或只含角的式子，然后再进行处理。〖题号〗2〖分类〗例题〖标记〗〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★★〖题型〗解答题〖题干〗设正实数x，y满足求的最大值与最小值。〖解答〗构造，使。由正弦定理，√。√。，的最大值为√，最小值为√。〖点拨〗由的形式联想到余弦定理，构造三角形求解。〖题号〗1〖分类〗练习〖标记〗〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★〖题型〗单项选择〖题干〗中，则a的值是()A.6B.√C.√D.√〖答案〗B〖解析〗，√。〖题号〗2〖分类〗练习〖标记〗〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★〖题型〗单项选择〖题干〗在中，若，则最大角的余弦值是()A.B.C.D.〖答案〗C〖解析〗，所以。根据三边的长度知角B为最大角，故。所以。〖题号〗3〖分类〗练习〖标记〗〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★〖题型〗单项选择〖题干〗中，，则是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形〖答案〗D〖解析〗由余弦定理，，即，所以，即。又因为，所以为等边三角形。〖题号〗4〖分类〗练习〖标记〗〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★〖题型〗单项选择〖题干〗中，a、b、c分别为A、B、C的对边，且，则a的取值范围是()A.πB.ππC.πD.π〖答案〗A〖解析〗，π，π。〖题号〗5〖分类〗练习〖标记〗〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★〖题型〗单项选择〖题干〗在中，，则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗等于()A.19B.C.D.〖答案〗D〖解析〗由余弦定理，。⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⃗⃗⃗⃗⃗||⃗⃗⃗⃗⃗|。〖题号〗6〖分类〗练习〖标记〗〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★〖题型〗填空题〖题干〗在中，已知则最大的角是____。〖答案〗〖解析〗为最大角。，又，。〖题号〗7〖分类〗练习〖标记〗〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★〖题型〗填空题〖题干〗在中，√，则____。〖答案〗2〖解析〗由题意，得，。由余弦定理，，√。由正弦定理，得。〖题号〗8〖分类〗练习〖标记〗〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★〖题型〗填空题〖题干〗在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的值是____。〖答案〗〖解析〗，。同理，。。〖题号〗9〖分类〗练习〖标记〗〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★〖题型〗填空题〖题干〗若是钝角三角形，，则x的取值范围是____。〖答案〗√〖解析〗不可能为钝角。当B为钝角时，{即{解得√；当C为钝角时，{即{解得。综上，x的取值范围是√。〖题号〗10〖分类〗练习〖标记〗〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★★〖题型〗解答题〖题干〗在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，且，求b，c的值。〖解答〗，，，，。又。解方程组{得或。又。〖题号〗11〖分类〗练习〖标记〗〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★★〖题型〗解答题〖题干〗在中试判断的形状。〖解答〗由余弦定理，，代入已知条件得：，去分母，得：，展开整理，得：，即，，即或。根据勾股定理逆定理知是直角三角形。〖题号〗12〖分类〗练习〖标记〗〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★★〖题型〗解答题〖题干〗在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设，其中。若，且π，试求角A，B，C。〖解答〗，即。，，，即。又πππ。˙˙√，即˙√。√。ππ。ππππ。的值分别为πππ。〖题号〗1〖分类〗模拟〖标记〗2013山东威海模拟〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★〖题型〗单项选择〖题干〗在中且最大边长和最小边长是方程的两个根，则第三边的长为()A.2B.3C.4D.5〖答案〗C〖解析〗由知中最大边和最小边分别为故。由余弦定理，，。〖题号〗2〖分类〗模拟〖标记〗2013福建泉州模拟〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★〖题型〗单项选择〖题干〗在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边.若π，的面积为√，则a的值为()A.1B.2C.√D.√〖答案〗D〖解析〗由已知得：π√，解得由余弦定理可得：π√。〖题号〗3〖分类〗模拟〖标记〗2012湖北荆州模拟〖学段〗高中〖年级〗必修五〖知识点〗余弦定理〖难度〗★★〖题型〗单项选择〖题干〗在中，若，则的形状是()A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形〖