112氢原子

第一节Schrodingerequationofhydrogen1–12一、氢原子的薛定谔方程势能rerV024)(此势能与时间无关，电子处于定态。应用定态薛定谔方程：222eVEm氢原子中电子满足的薛定谔方程是：0)4(20222reEmh核电子22222222sin1)(sinsin1)(1rrrrrr在球坐标下：sincossinsincosxrθ,yrθ,zrθ核电子任务是：对于任意给定的E值，找出满足标准条件的上述方程的解，在求解过程中自然地得到一些量子化条件。),,r(球坐标下的氢原子的定态薛定谔方程：0E束缚态042sin1sinsin1202222222222reEmrrrrrh令：代入方程，分离变量2202222221sinsin14sin2sindΦd)dθdΘθ(dθdθΘ)rπεeθ(Erm)drdR(rdrdRθ方程成立条件是两边同为一常数，令为：得：221dd⑴1()2ime球谐函数),(Y)Θ(θ)Φ(R(r))ψ(r,θ,径向波函数22222202sinddR2(r)sin()Rdrdr41sin(sin)merErdddd将⑵式再分离变量，令常数为)1(ll⑵)1()4(2)(02222llreErmdrdRrdrdRh１⑶)1()(sinsin1sin22llddddml⑷二、球谐函数：(,)()lmY(,)(,)(1)(cos)mmimlmlmlYYNPe其中是关联勒让德多项式，(cos)mlP()!(21)4()!lmlmlNlm是归一化常数。222(cos)(1cos)(cos)cos1(cos)(cos1)2!cosmmmllmllllldPPddPld其中前几个球谐函数表达式：410,0Y)1cos3(16520,2Ycos430,1Y0,0;1,0;1,1;1,-1lmlmlmlm上面分别是当和时的表示式。0,1,2,3ml1,13sin8iYe三、径向波函数,及能级和角动量的量子化：)(rR)(rR与n,l有关，前几个径向波函数表达式：000321003222000322210020021()21()221()23=4rararaeRrearRreaarRreaaame式中，1.能量量子化同玻尔得到的氢原子的能量公式一致，但却没有认为的假设。在求解得到氢原子能量必须满足量子化条件为)(rR22220422202416.1318132nnhmenmeEn,3,2,1n称为主量子数nn=1基态能量eV6.131EeV6.131EEn=2,3,…对应的能量称为激发态能量eV40.32EeV51.13E当n很大时，能级间隔消失而变为连续。对应于电子被电离，氢原子的电子电离能为：n当，0En11E232E3E454EE说明角动量只能取由l决定的一系列分立值，即角动量也是量子化的。2.轨道角动量量子化和角量子数处于能级的原子,其角动量共有n种可能值，即,用s,p,d,…表示角动量状态。nEl=0,1,2,...,n-1()在求解角量为变量的函数所满足的方程时，进一步得到角动量量子化的结果。,称为角量子数，或副量子数。lh)1(llL01,2,3,(1)ln，同玻尔得到的氢原子的角动量有差别氢原子内电子的状态n=1n=2n=3n=4n=5n=6l=0l=1l=5l=4l=3l=2(s)(p)(h)(g)(f)(d)1s5f5d5p5s6s6p6d6f6g6h4s3s3p4f3d4p4d5g2p2s磁量子数3.角动量的空间取向量子化决定角动量的取向0,±1,±2,…,±磁量子数角动量的空间取向是量子化的，通常设Z轴方向为某一特定方向（外场方向），在此特定方向上的投影的可能值为时0,±10,±有3种可能取向它们在Z轴的投影值分别为时0,±1,±20,±,±2有5种可能取向它们在Z轴的投影值分别为例如：氢原子能级简并度：4.简并定义：一个能级对应一个以上的波函数的情况对应的波函数的数目称为简并度12021nlln四.氢原子中电子的概率分布要知道电子在氢原子中的分布，必须要知道定态波函数：),()(lmnlnlmYrR称为径向函数；)(rRnl),(lmY称为角分布函数。以下给出前几个函数：02)1()(2300,1arearR0202300,2)2()21()(areararR0202301,23)21()(areararR角分布函数：410,0Y)1cos3(16520,2Ycos430,1Y为玻尔半径0a1,13sin8iYe氢原子中电子径向概率分布电子的径向分布概率为)(rPdrrRRdrrP24)(表示电子出现在至的球壳中的概率。rdrr电子的角分布概率由决定。),(lmY与无关，表示角向概率密度对于轴具有旋转对称性2),(lmYz由坐标原点引向曲线的长度表示方向的概率大小氢原子中电子的角分布20,0Y21,1Y20,2Y电子云示例n=1,l=0n=2,l=1n=3,l=2ml=0ml=0ml=±1ml=0ml=±1ml=±2以Z为轴的回旋面上的电子云側视图n=1,l=0n=2,l=1n=3,l=2m=0m=0m=0m=±1m=±1m=±2含Z轴的剖面上的电子云示意图综合考虑径向和角向的概率密度分布，得到，可将这种概率密度的空间分布形象化地作成象云一样的图象，空间任何一点上云的密度（图中定性表示为明亮程度）与概率密度成正比。称为电子云图。所谓“电子云”，并非表示一个电子右图为处在几种的概率密度。示在某点发现电子个空间，它只是表同时占据云图的整意图。氢原子的电子云示不同的量子态时，