11和12矩阵

返回上页下页目录2020年1月15日星期三1高等数学多媒体课件华南农业大学理学院数学系线性代数返回上页下页目录2020年1月15日星期三2第一章矩阵第四章向量的内积与二次型*第五章线性空间与线性变换*第六章Matlab软件的应用第二章向量与线性方程组第三章矩阵的特征值与特征向量返回上页下页目录2020年1月15日星期三3第一章矩阵与线性方程组§1矩阵及其运算§3行列式§4行列式和逆矩阵的应用§2初等变换与初等矩阵返回上页下页目录2020年1月15日星期三411112211211222221122........................................nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb1.1.1线性方程组(systemoflinearequations)及其矩阵表示m个方程，n个未知量(1)线性方程组（由多个未知量多个一次方程组成)的一般形式为ija代表第i个方程中未知量的系数，jxib称为第i个方程的常数项，当常数项全为零时,称为齐次线性方程组,否则为非齐次线性方程组.12,,...,mbbb返回上页下页目录2020年1月15日星期三511112211211222221122........................................nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb111212122212nnmmmnaaaaaaaaa(1)11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab（系数矩阵）（增广矩阵）返回上页下页目录2020年1月15日星期三6定义1.1列的数表行排成的个数由nmnjmianmij),2,1;,,2,1(称为m行n列矩阵（Matrix），简称其中诸ija叫做该矩阵的第i行第j列的元或者元素，矩阵可以简记nm矩阵,)(nmijnmaAA)(ijaA或mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211矩阵常用大写字母表示行,列,元素,返回上页下页目录2020年1月15日星期三7矩阵的行数和列数相等，称之为方阵。我们把n行n列矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵，简称n阶阵nnijnnnnnnnnnaaaaaaaaaaAAA)(212222111211几种特殊形式的矩阵元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记为o23000000O220000O130,0,0O返回上页下页目录2020年1月15日星期三8nnnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211主对角线:从左上角到右下角的对角线.主对角线次对角线:从左下角到右上角的对角线.返回上页下页目录2020年1月15日星期三912000000n对角矩阵100010001单位矩阵nII或mmnmnIAAmnnmnAIA12(,,...,)nAdiagIAAIA即：返回上页下页目录2020年1月15日星期三10nnijnnnnnnnnnaaaaaaaaaaAAA)(21222211121111121222000nnnnaaaaaa上三角形矩阵11212212000nnnnaaaaaa下三角形矩阵几种特殊形式的矩阵返回上页下页目录2020年1月15日星期三1112,,,naaa行矩阵（只有一行）naaa21列矩阵（只有一列）返回上页下页目录2020年1月15日星期三12两个矩阵行数相等，列数也相等时，就称它们是同型矩阵定义1.2()()ijmnijmnAaBb如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即),,,2,1;,,2,1(njmibaijij那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B返回上页下页目录2020年1月15日星期三1392908586例：90928685000000000064392005520abxxyabzwz求,,,,,.abxyzw64x20ab39xy0zw55z20ab0a20b64x25y55z55w190)3(6sin25828095.05.222返回上页下页目录2020年1月15日星期三14一矩阵的加减法定义1.3),(),ijijbBaAnm（矩阵设有两个那么矩阵A与矩阵B的和记作A+B,规定为mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA2211222222212111121211111.1.2矩阵的基本运算及性质对应元素相加（i）A+B=B+A(交换律）（ii)(A+B)+C=A+(B+C)(结合律）(iii)A+O=O+A=A返回上页下页目录2020年1月15日星期三15(),ijmnAa设矩阵记111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa-A称为矩阵A的负矩阵，显然有A+(-A)=(-A)+A=O矩阵的减法：A-B=A+(-B)对应元素相减返回上页下页目录2020年1月15日星期三16二矩阵的数乘运算定义1.4(ijAaAAmn数与矩阵)的乘积记作或，规定为mnmmnnaaaaaaaaaAA212222111211)()(AA（1）（2）（3）AAA)(BABA)(（4）（5）（6）AA1AA)1(0AO返回上页下页目录2020年1月15日星期三17例135212,163038AB设,32.ABABAB求，312015792468A已知752451973216B2,AXB且.X求23221()221120.513.51XBA返回上页下页目录2020年1月15日星期三18引例:设两个商店销售三种电视机的数量由矩阵A表示691410812A长虹康佳创维百佳华润三种电视机的零售单价由矩阵B表示5.335.2B长虹康佳创维5.310385.2125.36395.214()CAB5.335.26914108128389求：两个超市电视机的营业额？返回上页下页目录2020年1月15日星期三19定义1.5其一般元素为矩阵的乘积是一个与规定矩阵的行数相同：的列数与矩阵设矩阵,)(,)(,)(pmijpnijnmijcCpmBAbBaABAnjinjijiijbababac2211nkkjikba1),,,2,1;,,2,1(pjmi并记作C=AB).(pnnmpmBAC11121111211212pnnnnpmmmnbbbaaabbbaaai第行j第列返回上页下页目录2020年1月15日星期三20Am=nnpmpBC矩阵乘法的法则：乘积矩阵AB=C的第i行第j列元素ijc等于前矩阵A的第i行的各元素与后矩阵B的第j列中顺次对应的各个元素的乘积之和。返回上页下页目录2020年1月15日星期三21例设530421A4213B求ABCAB4213530421()223142112034401425334513231941297矩阵与矩阵相乘不满足交换律，AB有意义，但BA不一定有意义返回上页下页目录2020年1月15日星期三22例设132A465BAB465132416151436353426252求AB和BA46512181581210BA132465143625(32)AB和BA都有意义，但不同型返回上页下页目录2020年1月15日星期三23例2142A6342B求AB和BA1632816AB0000BA(1)AB与BA都有意义，且同型，但AB与BA不相等(2)两个非零矩阵相乘可能是零矩阵，因此ABOOOOBC由不能推出A=或B=由AB=AC且A不能推出01000100001,000,000001000000ABC,,ABACOAOBC虽然且但是返回上页下页目录2020年1月15日星期三240230A例9469B求AB和BAAB9469023012182712BA0230946912182712=AB如果同阶方阵A和B满足AB=BA,则称A与B可交换返回上页下页目录2020年1月15日星期三25矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足下列结合律和分配律(i)(AB)C=A(BC)(ii))()()(BABAAB(iii)CABAACBACABCBA)()(返回上页下页目录2020年1月15日星期三26记111212122212nnmmmnaaaaaaAaaanxxx11mbbb则线性方程组(1)可通过矩阵的乘法表示成矩阵方程Ax=b11112211211222221122........................................nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb返回上页下页目录2020年1月15日星期三27小结:返回上页下页目录2020年1月15日星期三28定义1.6转置矩阵(Transpose)111212122212nnmmmnaaaaaaAaaai第行112111222212mmTnnmnaaaaaaAAaaai第列行列对调例113021A101231TA100TB100B1358C1538TC运算规律AATT)(TTTBABA)(TTAA)(TTTABAB)(1221()TTTTnnAAAAAA返回上页下页目录2020年1月15日星期三291.1.3分块矩阵的概念用穿过矩阵的横线和竖线将矩阵A分割成若干个小矩阵，以这些小矩阵为元素的矩阵A称为分块矩阵(blockmatrices),方法称为分块法(不唯一),这些小矩阵称为子块.例如313241411113142324351525221333443242454