2011年高三数学(理科)一轮复习讲义4.7正弦定理余弦定理应用举例

2011年高三数学（理科）一轮复习讲义：4.7正弦定理、余弦定理应用举例一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）1．（7分）在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为（）A．mB．mC．mD．m2．（7分）一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时（）A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里3．（7分）已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为（）A．akmB．akmC．akmD．2akm4．（7分）一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为（）A．海里/时B．34海里/时C．海里/时D．34海里/时5．（7分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．20（+）海里/小时B．20（﹣）海里/小时C．20（+）海里/小时D．20（﹣）海里/小时6．（7分）线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始____h后，两车的距离最小．（）A．B．1C．D．2二、填空题（共3小题，每小题6分，满分18分）菁优网©2010-2014菁优网27．（6分）（2010•湖北模拟）在△ABC中，BC=1，∠B=，当△ABC的面积等于时，tanC=_________．8．（6分）（2009•海淀区一模）在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°，则∠A=_________，AB=_________．9．（6分）甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向_________°才能追上乙船；追上时甲船行驶了_________海里．三、解答题（共3小题，满分40分）10．（13分）如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．11．（13分）在△ABC中，已知，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为4，AB=2，求BC的长．12．（14分）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（﹣1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．菁优网©2010-2014菁优网32011年高三数学（理科）一轮复习讲义：4.7正弦定理、余弦定理应用举例参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）1．（7分）在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为（）A．mB．mC．mD．m考点：解三角形的实际应用．807068专题：计算题．分析：先画出简图，然后从塔顶向山引一条垂线CM，根据根据直角三角形的正切关系得到AB=BD×tan60°，AM=CM×tan30°，进而可得到AM的长，再相减即可．解答：解：依题意可得图象，从塔顶向山引一条垂线CM则AB=BD×tan60°，AM=CM×tan30°，BD=CM∴AM==所以塔高CD=200﹣=m故选A．点评：本题主要考查构造三角形求解实际问题．属基础题．2．（7分）一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时（）A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里考点：解三角形的实际应用．807068专题：计算题．分析：如图，依题意有∠BAC=60°，∠BAD=75°，所以∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10，在直角三角形ABC中，得AB=5，由此能求出这艘船的速度．菁优网©2010-2014菁优网4解答：解：如图，依题意有∠BAC=60°，∠BAD=75°，所以∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10，在直角三角形ABC中，得AB=5，于是这艘船的速度是=10（海里/小时）．故选C．点评：本题考查三角形知识的实际运用，解题时要注意数形结合思想的灵活运用．3．（7分）已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为（）A．akmB．akmC．akmD．2akm考点：在实际问题中建立三角函数模型．807068专题：计算题．分析：先根据题意确定∠ACB的值，再由余弦定理可直接求得|AB|的值．解答：解：由图可知，∠ACB=120°，由余弦定理cos∠ACB===﹣，则AB=a（km）．故选B．点评：本题主要考查余弦定理的应用．正弦定理和余弦定理在解三角形和解决实际问题时用的比较多，这两个定理及其推论，一定要熟练掌握并要求能够灵活应用．4．（7分）一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为（）A．海里/时B．34海里/时C．海里/时D．34海里/时考点：解三角形的实际应用．807068专题：应用题．分析：根据题意可求得∠MPN和，∠PNM进而利用正弦定理求得MN的值，进而求得船航行的时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案．解答：解：由题意知∠MPN=75°+45°=120°，∠PNM=45°．在△PMN中，由正弦定理，得菁优网©2010-2014菁优网5=，∴MN=68×=34．又由M到N所用时间为14﹣10=4（小时），∴船的航行速度v==（海里/时）；故选A．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．5．（7分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．20（+）海里/小时B．20（﹣）海里/小时C．20（+）海里/小时D．20（﹣）海里/小时考点：解三角形的实际应用．807068专题：计算题．分析：由题意知SM=20，∠SNM=105°，∠NMS=45°，∠MSN=30°，△MNS中利用正弦定理可得，代入可求MN，进一步利用速度公式即可解答：解：由题意知SM=20，∠NMS=45°，∴SM与正东方向的夹角为75°，MN与正东方向的夹角为，60°∴∠SNM=105°∴∠MSN=30°，△MNS中利用正弦定理可得，．MN=菁优网©2010-2014菁优网6∴货轮航行的速度v=海里/小时故选：B点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识进行求解．6．（7分）线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始____h后，两车的距离最小．（）A．B．1C．D．2考点：函数模型的选择与应用；余弦定理．807068专题：计算题；作图题．分析：如图：设th后，两车距离最小，则：求两车D，E的距离最小，可以转化为在△BDE中，已知BD，BE，∠B．求DE，用余弦定理即可．解答：解：如图所示，设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则t≤2.5，∴AD=80t，BE=50t．因为AB=200，所以BD=200﹣80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理：DE2=BD2+BE2﹣2BD•BEcos60°=（200﹣80t）2+2500t2﹣（200﹣80t）•50t=12900t2﹣42000t+40000．二次函数求最小值即当t=时，DE最小．故答案为：C点评：本题考查建立数学模型的能力，根据题意，建立三角形，由余弦定理，得二次函数模型，求二次函数的最值问题，是基础题．二、填空题（共3小题，每小题6分，满分18分）7．（6分）（2010•湖北模拟）在△ABC中，BC=1，∠B=，当△ABC的面积等于时，tanC=．考点：余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．807068专题：计算题．分析：先利用三角形面积公式求得c，进而利用余弦定理求得cosC的值，进而利用同角三角函数的基本关系求得sinC的值，最后利用商数关系求得tanC的值．解答：解：S△ABC=acsinB=∴c=4菁优网©2010-2014菁优网7由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=13∴cosC==﹣，∴sinC==∴tanC==﹣=﹣2故答案为：﹣2点评：本题主要考查了余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系的应用．应熟练记忆同角三角函数关系中的平方，倒数和商数关系．8．（6分）（2009•海淀区一模）在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°，则∠A=，AB=．考点：正弦定理．807068专题：计算题．分析：先通过正弦定理求出sinA进而求出∠A（注意∠A的范围）；再根据求出的∠A和余弦定理求出AB的值，注意根据角的大小对结果进行取舍．解答：解：根据正弦定理∴sinA==×2=∴∠A=45°或135°∵BC＜AC∴∠A＜∠B∴∠A=根据余弦定理BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA即4=6+AB2﹣2••AB•求得AB=∵∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°∴∠B＞∠A∴AB＞BCAB=故答案为，点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．在解决三角形的问题时，常用这两个定理对边角进行互化．9．（6分）甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向30°才能追上乙船；追上时甲船行驶了a海里．考点：解三角形的实际应用．807068专题：计算题．菁优网©2010-2014菁优网8分析：由题意及方位角的定义画出简图，设到C点甲船上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度追为v，则BC=tv，AC=tv，B=120°，在三角形中利用正弦定理及余弦定理即可求解．解答：解：如图所示，设到C点甲船上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度追为v，则BC=tv，AC=tv，∠B=120°，由正弦定理知，∴，∴sin∠CAB=，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=30°，∴BC=AB=a，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcos120°=a2+a2﹣2a2•=3a2，∴AC=a．故答案为：北偏东30°，a．点评：此题考考查了学生对于题意及方位角的概念的理解，还考查了利用正余弦定理求解三角形，还考查了学生的计算能力．三、解答题（共3小题，满分40分）10．（13分）如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．考点：已知三角函数模型的应用问题．807068专题：计算题．分析：根据CP∥OB求得∠CPO和和∠OCP进而在△POC中利用正弦定理求得PC和OC，进而利用三角形面积公式表示出S（θ）利用两角和公式化简整理后，利用θ的范围确定三角形面积的最大值．解答：解：因为CP∥OB，所以∠CPO=∠POB=60°﹣θ，∴∠OCP=120°．在△P