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2011年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(文科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2011福建,文1)若集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∩N等于().A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}2.(2011福建,文2)i是虚数单位,1+i3等于().A.iB.-iC.1+iD.1-i3.(2011福建,文3)若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.(2011福建,文4)某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名,现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为().A.6B.8C.10D.125.(2011福建,文5)阅读下图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是().A.3B.11C.38D.1236.(2011福建,文6)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是().A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)7.(2011福建,文7)如图,矩形ABCD中,点E为边CD的中点.若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率等于().A.B.C.D.8.(2011福建,文8)已知函数f(x)={若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于().A.-3B.-1C.1D.39.(2011福建,文9)若α∈(0,),且sin2α+cos2α=,则tanα的值等于().A.√B.√C.√D.√10.(2011福建,文10)若a0,b0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于().A.2B.3C.6D.911.(2011福建,文11)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1,F2,若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线Γ的离心率等于().A.或B.或2C.或2D.或12.(2011福建,文12)在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论:①2011∈[1];②-3∈[3];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”.其中,正确结论的个数是().A.1B.2C.3D.4二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.13.(2011福建,文13)若向量a=(1,1),b=(-1,2),则a·b等于.14.(2011福建,文14)若△ABC的面积为√,BC=2,C=60°,则边AB的长度等于.15.(2011福建,文15)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于.16.(2011福建,文16)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价a,最高销售限价b(ba)以及实数x(0x1)确定实际销售价格c=a+x(b-a).这里,x被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项.据此可得,最佳乐观系数x的值等于.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2011福建,文17)已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.18.(2011福建,文18)如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值;(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.19.(2011福建,文19)(本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:X12345fa0.20.45bc(1)若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求a,b,c的值;(2)在(1)的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3,等级系数为5的2件日用品记为y1,y2.现从x1,x2,x3,y1,y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.20.(2011福建,文20)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E在线段AD上,且CE∥AB.(1)求证:CE⊥平面PAD;(2)若PA=AB=1,AD=3,CD=√,∠CDA=45°,求四棱锥P-ABCD的体积.21.(2011福建,文21)(本小题满分12分)设函数f(θ)=√sinθ+cosθ,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π.(1)若点P的坐标为(,√),求f(θ)的值;(2)若点P(x,y)为平面区域Ω:{上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f(θ)的最小值和最大值.22.(2011福建,文22)(本小题满分14分)已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数).(1)求实数b的值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)当a=1时,是否同时存在实数m和M(mM),使得对每一个．．．t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[,e])都有公共点?若存在,求出最小的实数m和最大的实数M;若不存在,说明理由.福建文答案(数学)1.A∵M={-1,0,1},N={0,1,2},∴M∩N={0,1}.2.D∵i3=i2·i=-i,∴1+i3=1-i.3.A由|a|=1,得a=±1,∴|a|=1a=1,而a=1⇒|a|=1,即a=1是|a|=1的充分不必要条件.4.B分层抽样的原理是按照各部分所占的比例抽取样本,设从高二年级抽取的学生数为n,则=,得n=8.5.B第一次循环:a=3;第二次循环:a=11,故该程序框图运行后输出的结果为11.6.C∵方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根,∴Δ=m2-40.∴m24,即m2或m-2.7.C由题意知,该题考查几何概型,故P=△矩形=··=.8.A∵f(a)+f(1)=0,∴f(a)=-f(1)=-2.若a0,则2a=-2,显然不成立;若a≤0,则f(a)=a+1=-2,a=-3,符合题意.∴a=-3.9.D∵sin2α+cos2α=,∴sin2α+cos2α-sin2α=cos2α=.∴cosα=±.又∵α∈(0,π),∴cosα=,sinα=√.∴tanα=√.10.D由题意得f'(x)=12x2-2ax-2b.∵函数f(x)在x=1处有极值,∴f'(1)=0.∴12-2a-2b=0,即a+b=6.又∵a0,b0,由基本不等式得a+b≥2√,即ab≤()2=()2=9,故ab的最大值是9.11.A∵|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,设|PF1|=4k,|F1F2|=3k,|PF2|=2k,其中|F1F2|=2c=3k,∴c=k.若圆锥曲线Γ为椭圆,则|PF1|+|PF2|=2a=6k,∴a=3k.∴e===.若圆锥曲线Γ为双曲线,则|PF1|-|PF2|=2a=2k,∴a=k.∴e===.∴e的取值为或.12.C对于①:2011=5×402+1,∴2011∈[1].对于②:-3=5×(-1)+2,∴-3∈[2],故②不正确;对于③:∵任意一个整数z被5除,所得余数共分为五类,∴Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],故③正确;对于④:若整数a,b属于同一类,则a=5n1+k,b=5n2+k,∴a-b=5n1+k-5n2-k=5(n1-n2)=5n,∴a-b∈[0],若a-b∈[0],则a-b=5n,即a=b+5n,故a与b被5除的余数为同一个数,∴a与b属于同一类,所以“整数a,b属于同一类”的充要条件是“a-b∈[0]”,故④正确.∴正确结论的个数是3.13.1∵a=(1,1),b=(-1,2),∴a·b=(1,1)·(-1,2)=-1+2=1.14.2在△ABC中,由面积公式得S=BC·CA·sinC=×2·AC·sin60°=√AC=√,∴AC=2.再由余弦定理,得AB2=BC2+AC2-2·AC·BC·cosC=22+22-2×2×2×=4.∴AB=2.15.√由EF∥平面AB1C,知EF∥AC,∴EF=AC=×2√=√.16.√-∵(c-a)2=(b-c)(b-a),c=a+x(b-a),∴x2(b-a)2=[b-a-x(b-a)](b-a),整理得x2+x-1=0.解得x=-√或x=--√(舍去).17.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3.解得d=-2.从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.(2)由(1)可知an=3-2n.所以Sn=-=2n-n2.进而由Sk=-35可得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0.解得k=7或k=-5.又k∈N*,故k=7为所求.18.解:(1)由{得x2-4x-4b=0.(*)因为直线l与抛物线C相切,所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0.解得b=-1.(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)即为x2-4x+4=0.解得x=2,代入x2=4y,得y=1.故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,即r=|1-(-1)|=2.所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.19.解:(1)由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1,即a+b+c=0.35.因为抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,所以b==0.15.等级系数为5的恰有2件,所以c==0.1.从而a=0.35-b-c=0.1.所以a=0.1,b=0.15,c=0.1.(2)从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件,所有可能的结果为:{x1,x2},{x1,x3},{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1,y2}.设事件A表示“从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件,其等级系数相等”,则A包含的基本事件为:{x1,x2},{x1,x3},{x2,x1},{y1,y2},共4个.又基本事件的总数为10,故所求的概率P(A)==0.4.20.(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE⊂平面ABCD,所以PA⊥CE.因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD.又PA∩AD=A,所以CE⊥平面PAD.(2)由(1)可知CE⊥AD.在Rt△ECD中,DE=CD·cos45°=1,CE=CD·sin45°=1.又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形.所以S四边形ABCD=S矩形ABCE+S△ECD=AB·AE+CE·DE=1×2+×1×1=.又PA⊥平面ABCD,PA=1,所以V四棱锥P-ABCD=S四边形ABCD·PA=××1=.21.解:(1)由点P的坐标和三角函数的定义可得{θ√θ于是f(θ)=√sinθ+cosθ=√×√+=2.(2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC)如图所示,其中A(1,0),B(1,1),C(0,1).于是0≤θ≤.又f(θ)=√sinθ+cosθ=2sin(θ+),且≤θ+≤,故当θ+=,即θ=时,f(θ)取得最大值,且最大值等