11节集合的含义及其表示

宝安中学高一数学组ShiChao第1页第01课时§1.1集合的含义及其表示教学目标：1、使学生明确本章学习的重要性；2、使学生理解集合、元素的含义，理解集合元素的三个特征，了解常用数集及其记法；3、使学生初步了解属于关系、集合相等、有限集、无限集和空集的意义；4、使学生初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法，会用适当的方法表示集合。教学重点：1、集合元素的三个特征（确定性、互异性、无序性）；2、集合的表示方法（列举法、描述法）。教学难点：1、集合元素的三个特征的理解；2、选择恰当的方法表示集合。教学过程：·师：上课（讲完后很认真的站好，等待学生全体起立。）预案一、学生很自觉的起立，则继续进行下一步。预案二、学生没有立即起立，则稍作等待，再提醒学生起立。后继续进行下一步。·生：学生起立·师：待学生安静下来，说“请全体女生坐下”。预案一、女生都坐下，同时会有个别男生习惯性坐下，发现不对后都主动站起来。确保所有男生都站起来后继续进行下一步。预案二、女生都坐下，同时会有个别男生习惯性坐下，并有坐下的男生没有反应过来或发现不对但没有站起来。则微笑着注视他、不语或在适当时候提醒“我讲的是请全体女生坐下”。确保所有男生都站起来后继续进行下一步。·师：“请全体个子高的男生坐下”。预案一、班上明显很高的男生毫不犹豫地坐下，而部分中等个子的男生却在犹豫不决。教师留意犹豫不决的男生记下一两个，并给学生留一较短的混乱时间。后进行下一步。·师：“请１米____以上的男生坐下”。（这里高度待定，一要估计还有站着的男生在其中，二要不伤害到个子不高的男生。）预案一、结果很快该坐下的都坐下了，不应坐下的都没坐下。继续进行下一步。预案二、结果很快该坐下的都坐下了，不应坐下的都没坐下或大部分没坐下，班上出现了小规模混乱，则快速进行下一步。·师：“请剩下的同学坐下”。（设计意图：一、由“女生”、“男生”概念导出构成集合的概念；二、以“个子高的男生”出现的混乱引起认识冲突，引出集合概念的最重要性质—确定性；三、以“１米__以上男生”强化集合确定性这一性质，同时为后面学习交集作好铺垫；四、以“剩下的同学”为补集知识做好铺垫。）·师：同学们一定觉得很奇怪，为什么今天老师要求大家分成几批坐下。其实，同学们在按我的指令坐下的过程中已经对我们今天要学习的内容—集合，有了一个初步认识。·师：同学们知道，在日常生活中我们遇到的每一个问题都有一个研究范围。比如，我请女生坐下时，你们就会很快的思考，我在不在女生这个范围内，而今天我们学习的集合，就有明确研究范围的作用。那么，究竟什么是集合呢？下面我们就来看看宝安中学高一数学组ShiChao第2页一、集合的有关概念集合论是德国数学家康托尔在19世纪末创立的，集合是近代数学中不加定义的原始概念之一，不能用其它概念给它下定义，只能给出其描述性的说明：１、集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set），简称集。集合通常用大写字母A,B,C,…表示；集合中的每一个对象称为该集合的元素（element），简称元。集合的元素常用小写字母a,b,c,…表示。集合中的“对象”可以是人，物品，也可以是数学元素。如：班上的全体女同学；讲台上所有的粉笔；大于０小于１０的整数的全体；等二、集合元素的三个特征我们已经知道了集合是什么，那么请同学们结合集合的概念想一想：“班上个子高的男生”能不能组成一个集合？请一名原来注意到的犹豫不决的男生来回答几个问题（注：个子不能太低，保护学生心理，以免出现不必要的麻烦。）:○1当我请“个子高的男生坐下”的时候，你是如何想的？○2“班上个子高的男生”能不能组成一个集合？○3为什么？预案一、学生回答○1我不确定我是不是属于个子高的男生；○2不能；○3因为没有衡量标准，集合的元素不能确定。则继续进行下一步。预案二、学生回答没有到点子上，则通过问题引导学生○1恩，我猜你当时是不是在想班上没你高的男生有很多，比你高的男生也有很多，自己不确定是不是属于个子高的男生这一类？○3对，因为要做出判断就得有个确切的标准，“个子高”这个标准太笼统，是比１米６高还是比１米７高？我们不能确定自己是否“个子高”这一类。继续进行下一步。通过刚才我们的讨论，我们就可以得出集合元素的一个特征---确定性确定性：即给定的集合，它的元素必须是确定的。即给定一个集合Ａ，那么任何一个元素a在不在这个集合中就确定了。也就是说a或者是或者不是集合A的元素。另外，集合的元素还有两个特征---互异性和无序性互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不能重复出现的，相同的元素在集合中只能算作一个元素。例如：“math中的字母”构成一个集合，该集合的元素就是m,a,t,h这三个字母;“book中的字母”构成一个集合，该集合的元素就是b,o,k这三个字母。宝安中学高一数学组ShiChao第3页无序性：集合中元素的排列是无次序的。也就是说：集合中的元素是平等互的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。小结：判断一组对象能否构成集合，关键是看对象是否满足集合中元素的三个特征，特别看是否满足确定性。例１、分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：（１）、所有很大的实数。（２）、方程2210xx的解集。请学生口答预案一、学生回答（１）不能构成集合；（２）能构成，元素只有１。预案二、学生答不上来，提示引导（１）不符合确定性；（２）不能写元素有1,1。三、集合的分类和表示1、集合的字母表示如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A;如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA;例如、（１）、令宝安中学2010届高一**班的全体同学组成的集合为Ａ，元素a为**同学,元素b为***同学，则a∈A,bA。预案一、这里学生可能会出现小规模混乱，如果出现则让表现活跃的同学回答下列问题；预案二、如果学生没有出现混乱，则找不太认真的同学来回答下列问题。又如（２）、１____自然数集,2____整数集元素与集合的联系与区别区别概念概念上的区别符号上的区别关系元素研究对象小写字母a,b,c,…a∈A或aA集合一些对象组成的总体大写字母A,B,C,…2、常见数集及其记法无理数集分数集负整数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集N0)N(NZQ*R其中无理数集、分数集和负整数集暂不作固定记号，在以后我学习中我们将知道不给他们做固定记号的道理，这里我们先不做过多解释。例２、用“”或“”填空：宝安中学高一数学组ShiChao第4页1____N,-3____N,0____N,2____N,1____Z,-3____Q,0____Z,2____R.3、集合的表示法表示集合的常用方式有两种列举法和描述法。列举法：将集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。例如：｛北京，天津，上海，重庆｝，｛m,a,t,h｝等。列举法的优点是可以明确集合中具体的元素及元素的个数，一目了然；例３、请用列举法表示下列集合（１）、｛x|x为15的正约数｝预案一、学生回答（１）１，３，５，１５。预案二、学生回答不上，则引导（１）约数：如果一个整数能被两个整数整除，那么这两个数就是这个数的约数。所有数都有约数1。正约数表示正的约数。在使用列举法时必须注意以下几项事项:○1、元素间用逗号“，”分隔；○2、集合中元素必须满足元素的三个特征；○3、对于含有有限个元素且元素个较少的集合宜采用列举法；如果元素的个数较高多或无限个且构成集合的元素有明显的规律时，也可以使用列举法，但必须把元素的规律显示清楚后才能用省略号，例如不超过１０００的正整数构成的集合可表示为{1,2,3,…,1000}.○4、用列举法表示集合时，与元素的次序无关。如果两个集合所含的元素完全相同（即Ａ中的元素都是Ｂ的元素，Ｂ中的元素都是Ａ的元素），那么称这两个集合相等。例如：｛１，２｝和｛２，１｝都表示同一个集合。描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成｛x|p(x)｝的形式，其中x为集合的代表元素、p（x）是确定条件，指元素x具有的性质。如｛x｜x0,x∈R｝,{x|x为中国的直辖市}。描述法的优点是适用性强，把集合中所有具有元素的特征性质描述出来，具有抽象、概括、普遍性的特点。例４、请用描述法表示下列集合（１）、奇数的集合（２）、方程210x的实数根的集合预案一、学生回答（１）｛x|x=2k+1,kZ｝；（２）｛x|210x｝。预案二、学生回答不上，则引导（１）整数中能被２整除的是偶数，一般可用2k,kZ表示全体偶数；不能被２动整除的是奇数，一般用2k＋1,kZ或2k－1,kZ表示全体奇数；（２）宝安中学高一数学组ShiChao第5页直接把条件搬进来｛x|210x｝或解出方程的实数根｛x|x=1或x=-1｝。在使用描述法时必须注意以下几项事项:○1、应写清楚该集合中元素的代表元素，如集合｛x|1x3｝不能写成{1x3},再如集合{(x,y)|221xy}与集合{x|221xy}表示不同的两个集合，前者是点集，而后者是数集，区别就在于它们的代表元不同。○2、准确地说明该集合中元素的特征。○3、应对其代表元素进行说明。如下面的表示方法是错误的：｛(x,y)|(1,2)｝,事实上它应用描述法表示为{(x,y)|x=1,y=2},或用列举法表示为｛（1,2）｝。另外，描述法表示集合还有一种特殊情形---用Venn图示意集合。例如、---教材第6页图1-1-1说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法。而且，集合的表示方法不唯一，大部分集合都可同时用列举法和描述法表示。例如：列举法：｛1,-1｝(也可以是｛-1,1｝);描述法：{x|210,xxR}(也可以是｛x|x为方程210x的实数根｝)。例５、（课本第６页例１）求不等式235x的解集。分析：这个一个简单的一元一次不等式，通过移项和系数单位化即可得出解。再选择合适的方法来表示以这些解为对象的集合。由于这里是求的是单个不等式的实数解，符合不等式的解有无限多个，所以可选择描述法来表示解集。解：由于235x可得4x，所以不等式235x的解集为{|4,}xxxR。这里{|4,}xxxR可简记为{|4}xx。四、集合的分类我们发现，有的集合的元素只有有限个，如集合｛x|x是中国的直辖市｝只有北京、天津、上海、重庆四个元素；而有的集合的元素却有无限多个，如例５中的解集{|4}xx。这里我们也给这两类集合分别起个名字。一般地，含有有限个元素的集合称为有限集（finiteset），含有无限个元素的集合称为无限集（infiniteset）。另外，我们把不含任何元素的集合称为空集（emptyset），记作，例如，｛x|210,xxR｝就是空集。（备用例子：｛x|x为我们班上现在体重超过三百斤的男生｝）宝安中学高一数学组ShiChao第6页五、课堂练习（１）、已知集合A＝{x|x＝2n，且n∈N}，B＝{x|x2－6x＋5=0}，用∈或填空：分析：法一、先搞清楚Ａ、Ｂ分别都包含哪些元素，再求解；法二、直接代入看是否合适。4_____A，4_____B，5_____A，5_____B预案、时间允许，留时间让学生思考，后请同学口答；时间不允许，则直接讲解。（２）、思考：x∈R，则{3,x,x2－2x}中元素x所应满足的条件？(变：－2是该集合元素)分析：集合中的元素要满足三个特征确定性、互异性和无序性，这里主要是要考虑集合元素之间的互异性，那么只需要要让元素3、元素x和元素x2－2互不相等就可以了。预案、留时间让学生思考，时间允许则直接讲解，时间不允许则留做思考题。备用练习（３）、已知集合A＝{x|-3x3，x∈Z}，B＝{(x,y)|y＝x2+1，x∈A}，则集合B用列举法表示是__