11集合及其运算

第一节集合及其运算第一章集合及其基数集合论产生于十九世纪七十年代，它是德国数学家康托尔（Cantor）创立的，不仅是分析学的基础，同时，它的一般思想已渗入到数学的所有部门。“集合论观点”与现代数学的发展不可分割地联系在一起。集合，指的是具有某种特定性质的对象的全体，通常用大写英文字母A，B，X，Y…等表示；集合中的每个对象称为该集合的元素。一般说来，我们总用小写字母a,b,x,y…表示集合中的元素。集合与元素的关系：属于或不属于.集合的定义对于集合A，某一对象x如果是A的元素，则称x属于A，如果x不是A的元素，则称x不属于A。集合的表示方法：1.列举法；2.描述法；}|{PxxA具有性质例如，A是由具有性质P的元素全体组成时，记为：其中P可以是一段文字，也可以是某个数学式子。)}.(,;{)()](;[xpExxxxpExpxEE所构成的集合，即满足的条件中所有使便表示合，则是一个事先给定了的集如果.)(])(;[)(所构成的集合的大于中那些使就是是一个常数时，是一个给定的实函数且例如当xaxfEaxfxEaxf集合的运算定理1的充要条件是且.BABAAB.,.1BABABABABA的子集，记为是或包含于则说，的元素都属于是两个集合，如果属于设集合的子集..2的真子集是则说，还不等于的子集，但是，即，如果集合的真子集ABABABABAB定理2若，,则.BACBCA对于集合族若对任意,}{A,,,,AA都有则称该集合族是互不相交的或两两不交的.}.;{,.3BxAxxBAABBABABA且，因此或记为的交，和，则称为拿来构成一个新的集合它们所共有的元素是两个给定的集合，将设集合的交运算.,}{};{称为指标集其中或记为，它们的总体称为集合族，这样得到许多集合，一个集合，都相应地给定了是一集合，对于每一集合族：设AAA类似定义其交集，即},|{AxxA有对每一例1若,,3,2,1},110;{nnxxAn则nnA1}.10{x例2若是全体实数构成的集合，,},;{xxA则AnnnAnnnxnnxA1,,2,1},11;{则若练习：}1{1nnA答案：).1,1(),1,1(,11,,1.1},1{00001000000nnnnxnnnnxnxNnxxxn即故使则有若即证明：设.}.1{)1,1(),1,1(1,111,1综上可知命题成立故即恒有又对任意nnnnnnnnnnnnNnn.BxAxBAx或当且仅当},;{AxxA使存在}{A一簇集合，可类似定义其并集，即4.并运算};{BxAxxBA或例1若,,3,2,1},1111;{nnxnxAn则nnA1).1,1(例2若,},1;{RxxA则AR).,(例3,},11:{11NnxxAnnn设nnA1nnA1((])-2-1-1/n-101-1/n1)1,2(]0,1[nnnAnxnxA1,,2,1},11;{则若练习：)1,0(1nnA答案：).1,0(),1,0()1,1(,1nnnAnANn故有证明：对任意).1,0()1,1()1,1(,)1,1(,11,),1,0(10100000nnAnxxnNnxnnn于是即使存在又对定理3（1）交换律ABBAABBA;（2）结合律（3）分配律（4）幂等律;)()(CBACBA;)()(CBACBA)()()(CABACBAAAAAAA,定理4（1）.BAABA（2）若.),(,BABA则（3）若.),(,BABA则（4）).()(BABA）（(5)).()(BABA.A),(CCA则特别地，若.),(BCBC则特别地，若证明（2）由并集的定义，若,Ax则存在.,Ax使而.,BxBA所以有从而故,Bx.BA（5）若),(,)(BAxBA任取由交的定义，.BxAx且再由并的定义可知存在.Bx使于是.BAx从而).(BAx所以).()(BABA再证).()(BABA略(6)).()(BABA5．差运算由所有属于A但不属于B的元素组成的集合，称为A减B的差集，记作A-B。即}.,;{BxAxxBA注.)(ABBA未必等于6.余集若已知则称为B相对于A的余集，记为BABA.BCA特别地，若考虑的一切集合都是某一给定集合S的子集，集合A相对于S的余集称为A的余集，简记为.cACA或定理5（1）.,SSCC（2）.,CCAASAA(3).)(AACC(4).,CCBABA则若cBABA注：ASACs余：（其中S为全集）,简记为Ac定理6DeMorgan公式ccAA)(ccAA)(证明（1）若,)(cA设,)(cAx.AxSx且则,Ax，都有因而对.cAASx所以.cAx都成立，故由于对.)(ccAA因此反之，当时，且ccAxA,cAx，有对.AxSx且即.)(,cAxAxSx即且因而.)(ccAA所以.)(ccAA因此域或代数对于一个给定的集合S，若F是S的一族子集，它满足下列条件1）;F2）;cFAFA时，当3），时，当FBAFBA,则称F是S的一些子集构成的一个域或代数.代数域或的一些子集构成的一个称为则中一串元素时，必有是，）当）改为把上述定义中的SFFAFAAAnn,,,331n21注..1域是域一定域，但域不一定2.一串指的是可排序.}{};,{.310的全体子集所构成由域最大的域最小的SFSF定理7若A是由S的子集构成的集合,则唯一存在一个由S的子集构成的最小域使),(AF).(AFA.F(A))(-)1中也含有所以，中都含有空集域因为FAFF.AF(A)).(A-SA)(FFF由定理知，即域，的子集构成的的，由是包含证明：设.-(A)域即可是故只需证明F.)(..-,,)()2cccFAFBFBFBFFBFAFB，故，都有由于对任意所以域是而，都有则对任意如果.FA)(,,B,F-,F(A),,)31i1iin21FBFBFFBBBii是任意的，从而由于于是都有域则对于任意的中的每一个都属于，若域。确实是一个可见)(AF集合序列的极限1.序列的增减性,}{1n是一个集合序列设nA则称该序列单增；若,n21AAA.,n21则称该序列单减若AAA2.序列的并和交是任意一个集合序列，设1n}{nA的并；是集合序列称nkknknAAB}{k.}{k的交是集合序列称nkknknAAC.}{}{1n1n单增单减，显然，nnCB3.上极限和下极限.suplimlim}{}{11nnknknnnnnnnABAAAB记为的上极限，的交集称为我们把.inflimlim}{}{11nnknknnnnnnnACAAAC记为的下极限，的并集称为我们把.lim}{}{nnnnAAA有极限，记为则称，的上极限和下极限相等若例1)(lim)(lim}n:{n整数全体，有理数全体，证明：是自然数是整数，令ZAQAmnmAnnnn证：对一切自然数，显然有，所以nZAAQn1ZAAQnnnnlimlim因为对任一有理数其中均为整数，对任何有所以这样,/pqqp,,0p.,2,1,)/()(/knApnqnpqkn.lim/1nnknknAApq.lim,limQAAQnnnn从而1n),(1knknknkAQAQ.limlim.1,n,lim11111ZAZAmmxnmnmxmmAAxAAxnnnnnnnnnnnnknknnn从而，是整数，这样由此得使和因此有整数使必又对任何定理8是一个集合序列，设1n}{nA,,lim)1(nnnAxNnNAx使，存在对).(,}{1nnnAxxA属于无穷多个集合中有无穷多项包含即,,lim)2(nxxnnAxNnNAx有，使对一切存在.}{1的项只有有限项中不含即xAnnnnnnAAlimlim)3(定理9.)(lim}{111nnnnnnnnAAAA单增（单减），则若集合序列证明.,,1n}{n11AAAAAknkkkknknn并且有单增，易知对设,lim11111nnkkkknknknnnAAAAA从而.lim,lim111nnnnnnnnknnnAAAAA于是，这样上极限等于下极限单减如何证？.inflimsuplim,,3,2,1,-10FAAnFAFnnnnn也都属于和则域，是一如果定理.suplim,FFn,F.,,3,2,1,-1nFAAAAnFAFnnnkknkknkkn即所以，都有而且对任意故域，是一因为证明：},,:{nAxNnNx使是一个集合序列设,,,,21nAAA上、下极限集(){:}{:}limsuplimnnnnnnnAAxxAxAxA或属于无限多个集合存在无限多个，使上极限集1NNnnANB例：设A2n=[0,1]A2n+1=[1,2];则上极限集为[0,2］下极限集(){:}{:}limliminfnnnnnnAAxxAxnxA或除去有限个集外，有当充分大时，有1NNnnA例：设A2n=[0,1]A2n+1=[1,2];则上极限集为[0,2],下极限集为{1}11limlimnnnnnnnnAAAA1},,:{NNnnnAAxNnNx使上极限集(){:}limsuplimnnnnnAAxxA或属于无限多个集合},,:{nAxNnNx有NB单调增集列极限分析1},,:{NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1},,:{NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA111nnNNnnnnNnnAAAA当An为单调增加集列时11NNNNnnNNnnAAAA单调减集列极限分析1},