12-13-2高数A2试卷A参考答案与评分标准

2020年1月15日共页第1页共页第2页2012—2013学年第二学期闽江学院考试试卷参考答案与评分标准考试课程：高等数学A2试卷类别：A卷B卷□考试形式：闭卷开卷□一、选择题20%（每小题2分）1.方程22=xyxyy是(A).(A)齐次方程；(B)一阶线性微分方程；(C)伯努利方程；(D)可分离变量方程2.方程=sinyx的通解是(A).(A)21231=cos2yxCxCxC；(B)21231=sin2yxCxCxC；(C)1=cosyxC；(D)=2sin2yx3.,aijkay已知向量则垂直于且垂直于轴的单位向量是(C)．33()()33AijkBijk22()()22CikDik4.设()fx为连续函数，1()()ttyFtdyfxdx，则(2)F(B)A2(2)fB(2)fC(2)fD05.二元函数0,0,,00,0,,,22yxyxyxxyyxf在点0,0处(C).（A）连续，偏导数存在；（B）连续，偏导数不存在；（C）不连续，偏导数存在；（D）不连续，偏导数不存在。6.设D是Oxy平面上以（1，1），（-1，1），（-1，-1）为顶点的三角形的区域，1D是D在第一象限的部分，则(sinsin)Dxyxydxdy（D）（A）12sinsinDxydxdy；（B）12Dxydxdy；（C）14(sinsin)Dxyxydxdy；（D）0.7.二次积分2cos00dcossin)df(,可以写成（D）（A）2100ddyyyf(x,y)x；（B）21100ddyyf(x,y)x；（C）1100ddxf(x,y)y；（D）2100ddxxxf(x,y)y8.若L是上半椭圆3cos,2sin,xtyt取顺时针方向,则Lydxxdy的值为(C).(A)0；(B)3；(C)6；(D)12.9.若为222()zxy在xoy面上方部分的曲面,则dS等于(C).(A)220014rdrrdr;(B)2220014drrdr;(C)2220014drrdr；(D)220014drrdr10.下列级数中，收敛的是(B)．(A)11nne；(B)13sin5nnn(C)1112nnn；(D)1(1)nnn.二、填空题24%（每小题3分）1.通过原点且垂直于直线228:345xyzl的平面方程为3450xyz2020年1月15日共页第3页共页第4页2.将曲线250yzx绕z轴旋转一周，所得的曲面方程为225xyz3.22221100sinlimyxyxyxee=1.4.函数23uxyzxyz在点1,1,2M沿方向角为3，4，3方向的方向导数等于5.5.660sinddyxyxx312.6.3222222ln(43)ddd43xxyzxyzxyz=0，其中积分区域222{(,,)|1}xyzxyz.7.设L为0,03xxy,则2Lds的值等于6.8．幂级数2113nnnnx的收敛域为(3,3)．三、计算题30%（每小题5分）1．求微分方程2xdyyedx的通解.解：先求解20dyydx，12dydxy1ln2yxc12xyce2分再令12()xycxe，代入原方程，得121()2xcxe3分12()xcxec4分12xxycee为原方程的通解.5分2．设sinuzev，而uxy，vxy，求dz.解：zxsincos1uuevyev(sincos)ueyvv2分zysincos1uuevxev(sincos).uexvv2分dyyzdxxzdz(sin()cos())(sin()cos())xyxyeyxyxydxexxyxydy5分3.计算二重积分22Dxydxdy，其中D:22(,)14xyxy解：(,)12,02D1分22DxydxdyDdd3分22201dd4分3312(21)31435分4.利用格林公式计算曲线积分(12)(cos)yyLIeydxxeydy，其中L为曲线2xy上从)1,1(A到)1,1(B的有向弧段.解：添加辅助线段BA：1y，11:x，则BAC构成正向封闭曲线。12yPey，yxeQycos，1分12yPey，yexQ，2分1),1(Aoyx1),1(BC2020年1月15日共页第5页共页第6页故12QPxy，3分(12)(cos)yyLBABAIeydxxeydy1112(12)1622428Ddxdyedxee5分5.计算222()()()yxdydzzydzdxxzdxdy，其中是由锥面22(0)zxyzh以及平面zh所围成的立体的表面的外侧.解:由题2Pyx，2Qzy，2Rxz由高斯公式有：PQRIdxdydzxyz（+）3分3dxdydz3h5分6.将函数()2xfx展开成(2)x的幂级数.解：22()22xfx1分(2)ln24xe2分(2)ln24xe3分0(ln2)4(2)!nnnxn4分04(ln2)(2)!nnnxn(,)x5分四、解析题9%利用拉格朗日乘数法求内接于椭球面122222czbyax的长方体体积的最大值，其中：0a，0b，0c.解：设zyxP,,是内接长方体在第一褂限内的顶点，由对称性，长方体的体积为：xyzV8(0x，0y，0z)(*1)由于yzxP,在椭球面上，故x，y，z应满足条件：122222czbyax（*2），于是问题即求函数(*1)在约束条件（*2）下的条件极限问题。引入L——函数18,,,222222czbyaxxyzzyxF3分令)4(01)3(,028)2(,028)1(,028222222222czbyaxFczxyFbyxzFaxyzFzyx6分得：328xyz，得唯一解：3ax，3by，3cz8分由题意，所求的最大体积存在故以点(3a,3b,3c)为一个顶点所作的对称于坐标面的内接于椭球面的长方体的体积最大。最大体积为abccbaV9383338。9分2020年1月15日共页第7页共页第8页五、应用题8%求平面21xyz被三个坐标面所截出的在第一卦限部分的面积.解：平面方程为：12zxy，它被三坐标面割出的有限部分在xoy面上的投影区域xyD为由x轴，y轴和直线21xy所围成的三角形区域，于是所求面积为：221()()xyDzzAdxdyxy3分22121xyDdxdy6xyDdxdy6分648分六、证明题9%设(,)xy具有一阶连续的偏导函数，证明：由方程(,)0mxnzmypz所确定的函数(,)zfxy的偏导数满足等式：zznpmxy.证：令(,,)(,)Fxyzmxnzmypz，1分则1xFm2yFm12zFnp4分112xzzFmxFnp6分212yzFzmyFnp8分121212zznmpmnpmyynpnp9分