12-13高代II期末考试A卷

1《高等代数II》试卷试卷共6页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。一、选择题（3分×4，共12分）1、设baA0001011是正定阵，则ba,的取值范围是（）A、0,0ab；B、0,1ab；C、1,0ab；D、1,1ab。2、已知1234,,,是4维线性空间V的一组基，则V的基还可以是（）A、12233441,,,；B、12233441,,,；C、12334,,；D、1121231234,,,3、44P中全体反对称矩阵作成的数域P上的子空间的维数为()A、4；B、16；C、10；D、6。4、与实矩阵100012022A合同的矩阵是（）A、100010000；B、100010001；C、100010001；D、100010000。二、填空题（3×6，共18分）1、二次型112323135(,,)246780xxxxxx的矩阵是。2、正交矩阵A的行列式A________。题号一二三四五六七八九十总分应得分1218104416100实得分23、设三级方阵A的三个特征值为1、2、3，矩阵2BAE，则B的特征值为________，B=________。4、设是n维线性空间V上的线性变换，则VVV)()(1的充要条件是___________。5、欧氏空间V在基12(1,0),(0,1)下的度量矩阵是2113，则在基12(1,1),(0,1)下的度量矩阵是_______________。三、判断题（2分×5，共10分）1、()给定矩阵mnAR和非零列向量nbR，非齐次线性方程组的解向量集合对于通常向量的加法与数乘运算构成实数域上的线性空间。2、()把复数域看作复数域上的线性空间，)(,C则是线性变换。3、()两个向量组生成相同的子空间的充要条件是这两个向量组等价。4、()正交变换在任意一组基下的矩阵都是正交矩阵。5、()在2R中，对任意2121,yyxx，定义内积0110),(，则按这个内积，2R作成一个欧氏空间。四、计算题（四题，共44分）1、（8分）已知二次型22123112223(,,)244,fxxxxxxxxx用合同变换法写出二次型的标准形，并写出所作的非退化线性替换。32、（12分）已知3R的线性变换把3R的基)1,1,1(),0,1,2(),1,0,1(321变为基)1,1,2(),1,2,2(),1,2,1(321。(1)求在基321,,下的矩阵；(2)求在基321,,下的矩阵。43、（12分）设110101100A，（1）试求A的全部特征值，并求与实特征值相对应的全部特征向量；（2）求2012A。54、（12分）设),,(3211LW，),(212LW，其中11223(1,2,1,3)(1,0,4,2)(1,1,2,1),(0,5,9,14)(1,3,0,5)，求1W与2W的和与交的基及维数。五、证明题（二题，共16分）1、(8分)设12,,,n是欧氏空间V中的一组基，证明：(1)(,)0,1,2,,,0Vini如果使那么。(2)(,)(,),121212VV如果，使得对任一有那么。62、(8分)若线性变换与是可交换的，则的核与值域都是子空间。