121-122投影和三视图

1.2空间几何体的三视图和直观图1.2.1中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图一、投影的概念以及分类1.投影的概念(1)定义:由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的_____,这种现象叫做投影.(2)投影线:_____.(3)投影面:留下物体影子的_____.影子光线屏幕2.投影的分类一点平行正对着投影面没有正对投影面思考:(1)中心投影的投影线能否交于一点?(2)直线的平行投影可能会是什么图形?提示:(1)能交于一点.这是因为中心投影是光由一点向外散射形成的投影.(2)可能是直线也可能是点.二、空间几何体的三视图1.三视图的概念前面后面左面右面上面下面2.三视图表达的意义和画法规则(1)正、俯视图都反映物体的_____——“长对正”.(2)正、侧视图都反映物体的_____——“高平齐”.(3)俯、侧视图都反映物体的_____——“宽相等”.(4)画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用_____表示,不能看见的轮廓线和棱用_____表示.长度高度宽度实线虚线判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关.()(2)有的物体的三视图的形状都相同.()(3)画三视图依据的是中心投影.()提示:(1)错误.球的三视图与其摆放位置无关.(2)正确.如球的三视图都是圆,正方体的三视图都是正方形.(3)错误.因为三视图选择的是三种正投影,即利用的是平行投影.答案:(1)×(2)√(3)×【知识点拨】1.揭秘中心投影(1)中心投影主要用于绘制建筑或其他物品的富有逼真感的立体图.(2)空间图形经过中心投影后,直线还是直线,但是平行线可能变成相交直线.中心投影后的图形与原图形相比不一样,但是,直观性更强,最像原来的物体.2.平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投影线时,平行投影具有如下性质:(1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段.(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线.(3)平行于投影面的线段,它的投影与这条线段平行且相等.(4)与投影面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等.(5)在同一直线或平行直线上的两条线段的平行投影的比等于这两条线段的比.3.三视图的画法要求(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方看到的几何体的正投影图.(2)一个物体的三视图的排列规则是:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样,侧视图放在正视图的右面,高度与正视图一样,宽度与俯视图的宽度一样.(3)在视图中,被挡住的轮廓线画成虚线,尺寸线用细实线标出.(4)确定正视、俯视、侧视的方向,同一物体放置的位置不同,所画的三视图可能不同.4.三视图中轮廓线和棱画实线或虚线的原因(1)三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法,为了在平面中体现出“立体感”,就需要展示出“层次性”.(2)三视图中规定:“能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示”.类型一平行投影与中心投影【典型例题】1.如图,在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球,球在地面上的阴影的形状是一个圆,当把白炽灯向远移时,圆形阴影的大小的变化情况是()A.越来越小B.越来越大C.大小不变D.不能确定2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BB1,BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影是()【解题探究】1.在中心投影下,影子的形状和大小与投影中心的距离有关系吗?2.找投影的关键是什么?探究提示:1.影子的形状具有相似性,大小会随着距离的变化有所不同,距离越小,影子越大.2.应抓住已知图形中的端点,确定端点在投影面上的位置,进而确定投影图形.【解析】1.选A.灯光下,涉及中心投影,根据中心投影的特点,灯光下影子的大小与物体离灯源距离有关,此距离越大,影子就越小.2.选A.由正投影的定义知,点M,N在平面ADD1A1上的正投影分别是AA1,DA的中点,D在平面ADD1A1上的投影还是D,因此A正确.【拓展提升】判定几何体投影形状的技巧判断一个几何体的投影是什么图形,先分清楚是平行投影还是中心投影,投影面的位置如何,再根据平行投影或中心投影的性质来判断.【变式训练】下列命题中正确的是()A.平行四边形的平行投影一定还是平行四边形B.梯形的平行投影一定是梯形C.两条相交直线的平行投影可能平行D.一条线段的中点的平行投影仍是这条线段投影的中点【解析】选D.平行四边形的平行投影可能是线段或平行四边形.梯形的平行投影可能是线段或梯形.两条相交直线的平行投影是相交直线或一条直线.因此A,B,C均错,故D正确.类型二画空间几何体的三视图【典型例题】1.如图(1)所示的几何体,则该几何体的俯视图是图(2)中的()2.画出如图所示几何体的三视图.【解题探究】1.应按照怎样的方法去画几何体的三视图?2.画简单组合体的三视图开始时应注意什么?探究提示:1.在画三视图时,要想象几何体的后面、右面、下面各有一个屏幕,一组平行光线分别从前面、左面、上面垂直照射,根据“长对正、高平齐、宽相等”的原则画图.2.开始时,观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的,并注意它们的组成方式,特别是它们的交线位置.【解析】1.选C.此几何体俯视图首先为矩形,但上方被截去角的三棱柱的侧棱及角的边是看得见的,所以,俯视图中间有实线且靠左边有三角形形状.2.(1)此几何体的三视图如图所示:(2)此几何体的三视图如图所示:【互动探究】若将题2(1)中的图形改为下面图形,画出其三视图.【解题指南】观察此几何体发现上边的圆柱与下边的长方体边缘不接触.【解析】三视图如图所示:【拓展提升】三视图的排列位置及原因(1)位置:侧视图在正视图的右边,俯视图在正视图的下边.(2)原因:体现“长对正,高平齐,宽相等”.【变式训练】画出如图所示各物体的三视图.【解析】(1)如图所示:(2)如图所示:类型三由三视图推测几何体的原形【典型例题】1.若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是圆,则这个几何体是()A.圆柱B.三棱柱C.圆锥D.球2.如图所示是两个立体图形的三视图,请说出立体图形的名称.【解题探究】1.应如何由三视图判断几何体是柱体还是锥体?2.怎样根据三视图判断几何体是否为旋转体?探究提示:1.由正视图与侧视图是否为三角形,初步判断是柱体,还是锥体.2.由俯视图是否为圆,初步判断是否为旋转体.【解析】1.选C.正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是圆说明此几何体是圆锥.2.由已知可知甲的俯视图是圆,则该几何体是旋转体,又正视图和侧视图均是矩形,则甲是圆柱;乙的俯视图是三角形,则该几何体是多面体,又正视图和侧视图均是三角形,则该多面体的各个面都是三角形,则乙是三棱锥.【拓展提升】由三视图确定几何体原形的策略(1)通过正视图和侧视图确定是柱体、锥体还是台体.若正视图和侧视图为矩形,则原几何体为柱体;若正视图和侧视图为等腰三角形,则原几何体为锥体;若正视图和侧视图为等腰梯形,则原几何体为台体.(2)通过俯视图确定是多面体还是旋转体.若俯视图为多边形,则原几何体为多面体;若俯视图为圆,则原几何体为旋转体.(3)由三视图还原几何体原形要遵循以下三步:①看视图,明关系;②分部分,想整体;③综合起来,定整体.【变式训练】正视图为一个三角形的几何体可以是(写出三种).【解析】由于正视图为三角形,只需构造一个简单几何体,使得从正面看正好是三角形即可.例如,圆锥、三棱锥、三棱柱、正四棱锥或有一侧棱垂直于底面,底面为矩形的四棱锥等.答案:三棱锥、圆锥、三棱柱(不惟一)有关三视图的计算问题【典型例题】1.如图是正四棱锥P-ABCD的三视图,其中正视图和侧视图都是边长为1的正三角形,则这个四棱锥的侧棱长为.2.已知四棱锥P-ABCD,其三视图如图所示,试求PB的长度.【解析】1.由条件知，正四棱锥底面边长AB=1，高PO=(O是底面中心)，OB=AB=,故侧棱长PB=答案：32222222325POOB.442522.由三视图可知,该几何体原图形如图所示,且E为P在底面ABCD的射影，PE=2，BE=2，PE⊥BC，所以PB=2222PEBE2222.【拓展提升】有关三视图的计算题要注意的几个问题(1)根据“长对正、高平齐、宽相等”的三视图作图原理，分析原几何体中有关线段的长度.(2)要明确三视图是在平面上反映空间图形的一种形式，由于正视方向不同，原图形中某些线段的长度在直观图中也可能发生变化.(3)要结合三个视图综合分析空间图形中线段的长度.【易错误区】对三视图中实线、虚线辨认不清致误【典例】(2012·陕西高考)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的侧视图为()【解析】选B.图2所示的几何体的侧视图可由点A,D,B1,D1确定其外形为正方形,判断的关键是两条对角线AD1和B1C是一实一虚①,其中要把AD1和B1C区别开来.【误区警示】【防范措施】1.掌握好画三视图的规则观察立体图形时,要选择在某个方向上“平视”,用目光将立体图形“压缩”成平面图形,这样就得到三视图.一般地,几何体的轮廓线中能看到的画成实线,不能看到的画成虚线,如本例中的AD1和B1C是一实一虚.2.考虑问题的全面性观察几何体时要注意从三个方向观察几何体的轮廓线,要搞清楚各简单几何体之间的组接位置,同时不要发生遗漏,如在本例中易忽略线B1C造成错选D.【类题试解】将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为()【解析】选D.侧视图即是从正左方看,找特殊位置的可视点,连起来就可以得到答案.1.下列说法正确的是()A.一个点在一个平面内的投影仍是一个点B.一条线段在一个平面内的投影仍是线段C.一条直线在一个平面内的投影仍是一条直线D.一个三角形在一个平面内的投影仍是三角形【解析】选A.一条线段(或直线)在一个平面内的投影可能是一个点,故B,C错误;一个三角形在一个平面内的投影可能是一条线段,故D错误.2.如图2的三幅图分别是从不同方向看图1所示的工件立体图得到的平面图形(不考虑尺寸),其中正确的是()A.①②B.①③C.②③D.③【解析】选D.从正面看可得到两个左右相邻的中间没有界线的长方形,①错误;从左面看可得到两个上下相邻的中间有界线的长方形,②错误;从上面看可得到两个左右相邻的中间有界线的长方形,③正确,故选D.3.如图,小华拿一个矩形木框在阳光下玩,矩形木框在地面上形成的投影不可能是()【解析】选A.太阳光可看作平行光线,所以矩形的投影可以是线段、矩形、平行四边形,但不会是梯形.4.下图中三视图表示的几何体是.【解析】由正视图和侧视图知为柱体,又底面为四边形,所以此几何体为四棱柱.答案:四棱柱5.如图是一几何体的三视图,想象该几何体的几何结构特征,画出该几何体的形状.【解析】由于俯视图有一个圆和一个四边形,则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体,结合侧视图和正视图,可知该几何体是上面一个圆柱,下面一个四棱柱拼接成的组合体.该几何体的形状如图所示.