125比例粘滞阻尼矩阵的建立

高等结构动力学§12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立§12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立Rayleigh阻尼如上所述，用阻尼矩阵的方法来表示一个典型粘滞阻尼多自由度体系的阻尼通常不是必须的，因为采用振型阻尼比来表达更为方便，然而，至少在两种动力分析情况下有解耦的振型反应叠加不可能得到反应。因此有阻尼比不可能表达阻尼——用一个显式的阻尼矩阵来替代是必要的。这两种情况是：（1）非线性反应，这种情况下振型是不固定的，而是随着刚度的变化而改变。（2）非比例阻尼线性体系的分析。高等结构动力学§12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立对于这两种情况，确定所需要的阻尼矩阵的最有效方是首先计算一个或多个比例阻尼矩阵。0cam显然，建立比例阻尼矩阵的最简单方法是使其与质量矩阵或者刚度矩阵成比例，因为无阻尼振型对质量和刚度都是正交的。因而，阻尼矩阵可以表示为或1cak其中比例常数的单位分别为01aa和1,ss和相应的阻尼称为质量比例阻尼或刚度比例阻尼，(12-37a)高等结构动力学§12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立0122nnnnnnnnMaMaKM或其中K01TTTnnnnnnnCcamk或a有关特性可以通过计算各自的广义振型阻尼值得到[参看式（12-15a）]或者与式（12-15b）结合0122nnnnaa或其中可以得到(12-37d)(12-37c)(12-37b)高等结构动力学§12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立如果假设阻尼与质量矩阵和刚度矩阵的组合成比例，则可以得到一个明显的改进结果，一种组合是将式（12-37a）中的两个表达式相加：这些式子表明，对于质量比例阻尼，阻尼比与频率比成反比；而对于刚度比例阻尼，阻尼比与频率成正比。01camak(12-38a)这种阻尼称为Rayleigh阻尼，通过式（12-37b）(12-37d)的推导，可以得出阻尼比与频率的下述关系：高等结构动力学高等结构动力学§12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立联立求解得出的系数为：在计算出这些系数之后，就可以给出所需指定频率的阻尼比值，然后采用Rayleigh阻尼表达式（12-38a）即可得出比例阻尼矩阵。0221211nmmmnnnmnmaa-(12-40)因为很少能够得到阻尼比随频率变化的详细信息，因此通常假设用用于两个控制频率的阻尼比相同，即ξm=ξn=ξ，对于这种情况，由式（12-40）的简化形式给出比例系数：高等结构动力学§12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立0121mnmnaa例题E12-4对于例题E11-1中的结构，确定显式的阻尼矩阵，使得第一和第三阶振型的阻尼比为临界阻尼的5%。假设是Rayleigh阻尼，并采用例题E12-1中列出的频率数据，从而可以根据式（12-39）计算比例系数a0和a1；13114.5220.05114.5220.051246.10046.100(12-41)高等结构动力学§12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立从中得到：011.1042aa0.001652.0940.99000.9904.6261.980/01.9807.157ckipsin因此，c=1.1042m+0.00165k;或者，使用例题E12-1中列出的矩阵高等结构动力学§12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立现在，感兴趣的是以上矩阵在第二振型才生的阻尼比是多少。引入式（12-38b）中的第二振型频率，并将其写成矩阵形式0211131.048231.048aa然后代入上面求出a0和a1的值，得到20.04344.34%高等结构动力学§12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立1cmmkbbbbbac用来剪力Rayleigh阻尼的质量矩阵和刚度矩阵不是唯一的满足自由振动振型正交性条件的矩阵，事实上，前面式（11-44）已经表明有无穷多个矩阵具有这一特性。因此，比例阻尼矩阵可以由这些矩阵的任意组合来构成，如下式：拓展的Rayleigh阻尼高等结构动力学12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立其中，系数a0是任意的，为了理解上述方法，考虑任意正规振型“n”的广义阻尼值Cn:(12-43）(12-44a)c2TnnnnnnCM若c由(12-42)给出,由第b项对广义阻尼的贡献为1c=mmkbTTnbnbnbnnCa使由(11-39)得,-124kmkkTTnnnnnnnM高等结构动力学12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立通过计算，可以证明(12-44b)因此(12-45)1mmkbT2bnnnnM2bnbbnnC=aM与任一个振型n对应的广义阻尼为22bnnbbnnnnnbbC=CaMM高等结构动力学高等结构动力学12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立111222T3330000200MMCcM另一种列式从原理上讲，可以对阻尼矩阵用振型矩阵转置前乘和用振型矩阵后乘来得到广义阻尼系数，从而组成完整的对角矩阵来解释这种方法(12-48)高等结构动力学12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立既然对于任意给定的一组振型阻尼比，可以按照式(12-43)计算矩阵C的广义阻尼系数，那么阻尼矩阵c也可以用式(12-49)来计算。11T1TT1Ccc从上式可以看出，可以通过对矩阵C分别前乘振型矩阵转置的逆和后乘振型矩阵的逆得到阻尼矩阵c：(12-49)n高等结构动力学12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立11T1IMMMm将该式前乘以广义质量矩阵的逆矩阵，得到TMm但是实际上因为振型矩阵的求逆需要非常大的计算量，因此这不是一种方便的方法。作为一种替代方法，利用振型对质量矩阵的正交特性却是方便的。由下述关系可得到体系的对角广义质量矩阵：(12-50)(12-51)高等结构动力学12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立11TcmMCMm将式(12-52)和(12-53)代入式(12-49)，得到1T1mM对这个式子进行运算可以得到11TMm由此显然可见振型矩阵的逆为(12-54)(12-53)(12-52)高等结构动力学12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立其中d是含有元素为dn的对角阵。Tcmdm因此式(12-54)可以写为2nnnndM由于矩阵C是一个对角矩阵，其元素为，所以式(12-54)的三个中间对角阵的乘积仍然为一个对角阵，其元素为(12-55)2nnnnCM高等结构动力学12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立T11NNnnnnnnccmdm总阻尼矩阵由各振型贡献之和获得Tnnnncmdm每一个振型阻尼比对于阻尼矩阵的贡献都是独立的，即有：(12-56b)(12-56a)高等结构动力学12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立将式(12-55)代入，上式可以写为T12NnnnnnncmmM(12-56c)每个振型对阻尼矩阵的贡献与振型阻尼比成正比，即只有形成阻尼矩阵的振型有阻尼，其他的没有。高等结构动力学12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立(12-57a)12cca为了避免对无阻尼振型反应不必要的放大，由式(12-56c)提供的阻尼形式只能作为刚度比例阻尼矩阵的补充，因为后者如式(12-37d)的右端所示的阻尼比与振型频率成比例增加，亦即。为了在指定阻尼的最高阶振型频率处提供阻尼比，需要计算刚度比例阻尼矩阵的系数a1；因此，从式(12-37d)可以得出1a2cc高等结构动力学12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立(12-57c)nnncc因此，如果任意阶振型n所需要的总阻尼比为，则显然式(12-56c)类型的阻尼(以表示)需要补充刚度比例阻尼，即阻尼必须为1aˆ2nnncc(12-57b)而在其他频率处的刚度比例阻尼比则为nn高等结构动力学12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立(12-57d)上面推导的最终结果是比例阻尼矩阵c由下式给出：1T112cnnnnnncakmmM它提供了小于或等于的频率所需要的振型阻尼比；对于高阶频率，它具有线性递增的阻尼.c高等结构动力学12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立非比例阻尼矩阵的建立前面所描述的比例阻尼矩阵适合于大多数结构体系特性的建模，其阻尼机制相当均匀地分布在整个结构中。但是，对于多于一种材料组成的结构，由于不同材料在结构的不同部分提供的能量损失机制差别很大，所以阻尼力的分布将与惯性力和弹性力的分布不同；换句话说，这种情况导致的阻尼将不是成比例的。高等结构动力学12.5比例粘滞阻尼矩阵的建立用与上面建立比例阻尼矩阵类似的方法，可以建立非比例阻尼矩阵。对于每一个明显的结构组成部分都建立一个比例阻尼矩阵，然后将其直接集装即可形成组合的体系矩阵。