12n阶行列式的定义

§1.2n阶行列式从三阶行列式的定义，我们看到:(1)三阶行列式共有3!＝6项；(2)行列式中的每一项都是取自不同行不同列的三个元素的乘积；(3)行列式中的每一项的符号均与该项元素下标的排列顺序有关.受此启示，我们可以引入n阶行列式的定义.此外，在本节中，我们还要了解几个今后常用的特殊的n阶行列式(对角行列与三角形行列式等)的计算方法.一、排列与逆序定义1由自然数1，2，…，n组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个n级排列(简称为排列)。例如，1234和4312都是4级排列，而24315是一个5级排列.定义2在一个n级排列)(21nstiiiii中，若数,stii则称数ti与si构成一个逆序.一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记为).(21niiiN定义3逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列.逆序数的计算方法：先计算出排列中每个元素逆序的个数，即计算出排列中每个元素前面比它大的元素个数，该排列中所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.例1(E01)计算排列32514的逆序数.解在排列32514中，3排在首位，故其逆序数为0；2的前面比2大的数只有1个3，故其逆序数为1；5的前面没有比5大的数，故其逆序数为0；1的前面比1大的数有3个，故其逆序数为3；4的前面比4大的数有1个，故其逆序数为1.即排列32514逆序01031于是排列32514的逆序数为.513010N例（补）计算排列217986354的逆序数，并讨论其奇偶性.解排列217986354逆序010013445于是题设排列的逆序数为54431001018.N该排列是偶排列.例2(E02)求排列321)1)(1(nnn的逆序数，并讨论其奇偶性.解排列n1n2n…321逆序012…3n2n1n于是题设排列的逆序数为012)3()2()1(nnnN.2)1(nn易见当,4kn14k时，题设排列是偶排列;当,24kn34k时，题设排列是奇排列.二、n阶行列式的定义定义4由2n个元素(,1,2,,)ijaijn组成的记号111212122212nnnnnnaaaaaaaaa称为n阶行列式，其中横排称为行，竖排称为列，它表示所有取自不同行、不同列的n个元素乘积nnjjjaaa2121的代数和，各项的符号是：当该项各元素的行标按自然顺序排列后，若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号；是奇排列则取负号.即nnnjjjnjjjjjjNnnnnnnaaaaaaaaaaaa21212121)(212222111211)1(其中njjj21表示对所有n级排列njjj21求和.行列式有时也简记为det)(ija或||ija，这里数ija称为行列式的元素，称nnnjjjjjjNaaa212121)()1(为行列式的一般项.注:(1)行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次线性方程组的需要而定义的；(2)n阶行列式是!n项的代数和，且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的符号)各占一半；(3)nnjjjaaa2121的符号为)(21)1(njjjN(不算元素本身所带的符号)；(4)一阶行列式,||aa不要与绝对值记号相混淆.例3(E03)计算行列式0004003002001000D解四阶行列式D的一般项为,)1(431432143221)(jjjjjjjjNaaaaD中第1行的非零元素只有,14a因而1j只能取4，同理由D中第2，3，4行知，,32j,23j,14j即行列式D中的非零项只有一项，即41322314)4321()1(aaaaDN4321)1()4321(N.24例4(E04)计算上三角形行列式).0(000221122211211nnnnnnaaaaaaaaa解行列式的一般项为,)1(212121)(nnnjjjjjjNaaa,njn,11njn…，,22j,11j所以不为零的项只有,1211nnaaannnnaaaaaa00022211211.)1(1211)12(nnnNaaa同理，下三角形行列式nnnnaaaaaa21222111000.2211nnaaa行列式中从左上角到右下角的对角线称为主对角线.三、对换为进一步研究n阶行列式的性质，先要讨论对换的概念及其与排列奇偶性的关系。定义5在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的方法称为对换。将两个相邻元素对换，称为相邻对换。定理1任意一个排列经过一个对换后，其奇偶性改变。推论1奇排列变成自然顺序排列的对换次数为奇数，偶排列变成自然顺序排列的对换次数为偶数.定理2n个自然数(n1)共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半.定理3n阶行列式也定义为nnjijijisaaaD2211)1(其中S为行标与列标排列的逆序数之和.即S=)()(2121nnjjjNiiiN。推论2n阶行列式也可定义为.)1(21)(2121niiiiiiNnnaaaD例(补)试判断655642312314aaaaaa和662551144332aaaaaa是否都是六阶行列式中的项.解因为655642312314aaaaaa列标的逆序数为)431265(N102210.6所以655642312314aaaaaa是六阶行列式中的的项.而662551144332aaaaaa两下标排列的逆序数和为)234156()341526(NN35,8所以662551144332aaaaaa不是六阶行列式中的的项.例5(E05)在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号(1);651456423123aaaaaa(2).256651144332aaaaaa解)1(651456423123aaaaaa,655642312314aaaaaa而431265的逆序数为N102210,6所以651456423123aaaaaa前边应带正号.)2(256651144332aaaaaa行标排列341562的逆序数为N400200,6列标排列234165的逆序数为N103000,4所以256651144332aaaaaa前边应带正号.例6(E06)用行列式的定义计算.0000000010020001000nnDn解nDnnnnnNaaaa112211)1(nnnN)2()1(21)1((1)!,NnN]12)2)(1[(nnnN0)2(210n,2)2)(1(nn所以(1)(2)2(1)!.nnnDn课堂练习1.若5213425)1452()432()1(kjijNkiNaaaaa是五阶行列式的一项，则kji,,应为何值？此时该项的符号是什么？2.用行列式的定义计算下列行列式:.11000010010110103.已知,1211123111211)(xxxxxf求3x的系数.