12勤学早九年级数学(上)第23章《旋转》专题一点通

12.勤学早九年级数学（上）第23章《旋转》专题一点通一、旋转与角度、长度计算1（2014龙岩）如图，△ABC中，∠B=70°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，求∠CAE的度数（50°）2（2014江宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，在同一平面内，将△ABC绕点C逆时针旋转70°与△EDC重合，恰好使点D在AB上，求∠E的度数（∠E=∠A=35°）3（2014高邮）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，AD=2，DB=5，DE⊥AC于点E，若△ADE绕点D顺时针旋转90°后，点A、E的对应点A'、F恰好在BC边上，求△A'DB的面积（5）4（2013常州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A'O'B（得到A，O的对应点分别为点A′，O′），并回答下列问题：∠ABC=_____，∠A'BC=_____，OA十OB+OC=_____；（30°；90°；7）二、作图与计算5.（2014宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2，1)，B(-4，5)，C(5，2).(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2.6（2014广东）在平面直角坐标系中有△ABC与△A1B1C1，其位置如图所示.（1）将△ABC绕C点按____（填“顺”或“逆”）时针方向旋转____度时与△A1B1C1重合；（2）若将△ABC向右平移2个单位后，只通过一次旋转变换能与△△A1B1C1重舍吗？若能，请直接写出旋转中心的坐标、方向及旋转角度；若不能，请说明理由.解：(1)逆；90°（2）能，绕(0，-1)逆时针旋转90°即可7.如图，△ABC二点的坐标分别为A(1，1)，B(6，1)，C(2，3)(1)△ABC关于x轴作轴对称变换得到△DEF，则点A的对应点的坐标为________；（1，-1）(2)将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A'B'C′，若M为△ABC内的一点，其坐标为(a，b)，则点M平移后的对应点M′的坐标为_______;（a-7，b）(3)△ABC绕原点逆时针旋转90°得到△MNT，直接写出点B的对应点N的坐标为____；（-1，6）(4)在旋转过程中点B经过的路径长_______；（372）(5)在旋转过程中线段AB扫过的面积是_______.（354）三、图案设计8.下图是2002年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们.请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另两个不同的图案.画图要求：(1)每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形都不重叠；(2)所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形.9.如图，已知网格中每个正方形的边长都是l，图中的阴影部分图案是由三段以格点为圆心、分别以小正方形的边长和对角线为半径的圆弧围成.(1)填空：图中阴影部分的面积是_______；（1）(2)在网格中以阴影图案为基本图案，借助轴对称、平移或旋转设计一个完整的图案（要求至少含有两种图形变换）四、旋转与勾股定理10.如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′.(1)求点O与O′的距离；（4）(2)求∠AOB的度数；（150°）(3)求△ABC面积-△AOC面积的值.（43+6）11.如图l，在等边△ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=l，求∠BPC度数和等边△ABC的边长.【探究】解题思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图2所示，连接PP'.(1)△P'PB是_____三角形，△PP'A是_____三角形，∠BPC=_____°：【拓展应用】如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，BP=2，PC=1.(2).求∠BPC度数的大小；(3).求正方形ABCD的边长.解：(1)等边，直角，150°；(2)将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A，∴AP′=PC=1，BP=BP′=2，连接PP'，在Rt△BP′P中，∵BP=BP′=2，∠PBP′=90°，∴PP′=2，∠BP′P=45°，在△AP′P中，AP′=1，P′P=2，AP=5，∵12+22=（5）2，即P′A2+P′P2=AP2，∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，∴∠AP′B=135°，∴∠BPC=∠AP′B=135°.(3)过点B作BE⊥AP′交AP′的延长线于点E，∴∠EP′B=45°，∴EP′=BE=1，∴AE=2．∴在Rt△ABE中，由勾股定理得AB=5，∴正方形ABCD的边长为5五、利用旋转化散为聚12.如图，∠CAE=45°．AC=6，AE=3，∠DCE=90°，CD=CE，求AD的长解：将△DCA绕C点逆时针旋转90°得△ECB，连接BE，可证△ACD≌△BCE，AD=BE，∠BAE=90°，在Rt△ABE中，由勾股定理可得BE=9，则AD=BE=913.如图，在平面直角坐标系中，点P（3，3)，两坐标轴的正半轴上有M、N两点，且∠MPN=45°，求△MON的周长解:过P作PE⊥y轴于点E，将△PEM绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△PFQ，∵P(3，3)，∴F、Q两点在x轴上，△PFQ≌△PEM，∴∠EPM=∠FPQ，EM=FQ，PM=PQ，∵∠EPF=90°，∠MPN=45°，∴∠EPM+∠NPF=45°，∠FPQ+∠NPF=45°，∴∠NPQ=∠MPN，又PM=PQ，PN=PN，∴△PMN≌△PQN，∴MN=NQ=NF+FQ=NF+EM，∴△MON周长=OM+ON+MN=OM+ON+NF+EM=OM+EM+ON+NF=OE+OF=614.(2016武汉模拟)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BCAD，∠A=90°，AB=BC=12，∠DCF=45°，E是AB上一点．DE=10，求BE的长解：过C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△FCG，连接CG，则四边形ABCF是正方形，∴BC=CF，∴△BCE≌△FCG，∴CE=CG，∠BCE=∠FCG.，∵∠DCE=45°，∠BCE+∠DCF=90°-45°=45°，∠DCG=∠DCF+∠FCC=45°=∠DCE，在△DCG和△DCE中，CG=CE，∠DCG=∠DCE，CD=CD，∴△DCG≌△DCE，∴DG=DE=10，设BE=x，则AE=12-x，DF=10-x，∴AD=12-(10-x)=2+x，在Rt△ADE中，222ADAEDE，∴(2+x)2+（12-x）2=l02，解得x=4或6，即BE的长为4或6.15.（2016武汉改编题）如图，正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且EG与FH的夹角为45°，若正方形ABCD的边长为1，FH的长为52，求EG的长解：过A作AM∥HF交BC于点M，过A作AN∥EG交CD于点N，∵AB=l，AM=FH=52，∴BM=22AMAB=12，将△AND绕点A顺时针旋转90°，得到△ABP，∵EG与FH的夹角为45°，∴∠MAN+∠DAN=45°，即∠PAM=∠MAN=45°，从而△APM≌△ANM，∴PM=NM，设DN=x，则NC=1-x，MN=PM=12+x，在Rt△CMN中，（12+x）2=14+（1-x）2，解得：x=13，∴EG=AN=21+x=103