12命题,充分条件及其必要条件

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件第一章集合与常用逻辑用语1．命题的概念(1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题，其中__________的语句叫做真命题，____________的语句叫做假命题．(2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为____________．(3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为________________．(4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为________________．(5)一般地，设“若p，则q”为原命题，那么____________就叫做原命题的逆命题；___________就叫做原命题的否命题；______________就叫做原命题的逆否命题．2．四种命题间的相互关系(1)四种命题间的相互关系图(请你补全)(2)真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性，即等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________．3．充分条件和必要条件(1)如果p⇒q，则称p是q的________，q是p的_________．(2)如果__________，且__________，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的______________，记作__________．(3)如果p⇒q，但qp，那么称p是q的______________条件．(4)如果________，但________，那么称p是q的必要不充分条件．(5)如果________，且________，那么称p是q的既不充分也不必要条件．1．(1)判断真假判断为真判断为假(2)互逆命题(3)互否命题(4)互为逆否命题(5)若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p2．(1)(2)①相同②没有关系3．(1)充分条件必要条件(2)p⇒qq⇒p充要条件p⇔q(3)充分不必要(4)pqq⇒p(5)pqqp下列语句为命题的是()A．对角线相等的四边形B．a＜5C．x2－x＋1＝0D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形解：只有选项D是可以判断真假的陈述句，故选D.(2015·陕西)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：若sinα＝cosα，则cos2α＝cos2α－sin2α＝0，充分性成立；反之，若cos2α＝cos2α－sin2α＝0，则sinα＝±cosα，必要性不成立．因此，“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的充分不必要条件．故选A.(2015·天津)设x∈R，则“||x－21”是“x2＋x－20”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：∵|x－2|＜1⇔－1＜x－2＜1⇔1＜x＜3，x2＋x－2＞0⇔x＜－2或x＞1，∴“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分不必要条件．故选A.命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是______________．解：根据互为逆否命题的概念得命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．故填若x≤y，则x2≤y2.“m14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．解：∵x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，得m≤14，∴“m14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．故填充分不必要．类型一四种命题及其相互关系写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假：(1)末位数字是0的多位数一定是5的倍数；(2)在△ABC中，若AB＞AC，则∠C＞∠B；(3)若x2－2x－3＞0，则x＜－1或x＞3.解：(1)原命题：若一个多位数的末位数字是0，则它是5的倍数．逆命题：若一个多位数是5的倍数，则它的末位数字是0.否命题：若一个多位数的末位数字不是0，则它不是5的倍数．逆否命题：若一个多位数不是5的倍数，则它的末位数字不是0.这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题．(2)逆命题：在△ABC中，若∠C＞∠B，则AB＞AC.否命题：在△ABC中，若AB≤AC，则∠C≤∠B.逆否命题：在△ABC中，若∠C≤∠B，则AB≤AC.这里，四种命题都是真命题．(3)逆命题：若x＜－1或x＞3，则x2－2x－3＞0.否命题：若x2－2x－3≤0，则－1≤x≤3.逆否命题：若－1≤x≤3，则x2－2x－3≤0.这里，四种命题都是真命题．【点拨】写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件p与结论q，将原命题写成“若p，则q”的形式．在(2)中，原命题有大前提“在△ABC中”，在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提．(3)中“x＜－1或x＞3”的否定形式是“x≥－1且x≤3”，即“－1≤x≤3”．写出下列命题的否定形式和否命题：(1)若xy＝0，则x，y中至少有一个为零；(2)若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零；(3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等；(4)有理数都能写成分数．解：(1)否定形式：若xy＝0，则x，y都不为零．否命题：若xy≠0，则x，y都不为零．(2)否定形式：若a＋b＝0，则a，b都大于零．否命题：若a＋b≠0，则a，b都大于零．(3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．(4)否定形式：有理数不都能写成分数．否命题：非有理数不都能写成分数．类型二充要条件的判定“sinα＝12”是“cos2α＝12”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解法一：(定义法)若sinα＝12，则cos2α＝1－2sin2α＝1－2×122＝12，充分性成立；反之，若cos2α＝12，则有1－2sin2α＝12，得sin2α＝14，sinα＝±12，必要性不成立．因此，“sinα＝12”是“cos2α＝12”的充分不必要条件．解法二：(集合法)令A＝{α|p(α)}，B＝{α|q(α)}，则可得A＝α|sinα＝12，B＝α|cos2α＝12＝α|1－2sin2α＝12＝α|sinα＝±12.显然，AB，所以p是q的充分不必要条件．故选A.【点拨】充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．(1)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：设A＝（x，y）|x≥2，y≥2，B＝{(x，y)|x2＋y2≥4}，通过画草图可知AB，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分而不必要条件，故选A.注：此题也可采用定义法来判断．(2)(2013·山东)给定两个命题p，q，若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：∵綈p是q的必要而不充分条件，∴綈q是p的必要而不充分条件，从而得出p是綈q的充分而不必要条件，故选A.类型三充要条件的证明与探求数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)是数列{an}是等差数列的什么条件？解：当n＞1时，an＝Sn－Sn－1＝2An＋B－A；当n＝1时，a1＝S1＝A＋B，适合an＝2An＋B－A.所以an＝2An＋B－A，显然{an}是等差数列，故充分性成立．反之，若{an}是等差数列，则有Sn＝na1＋n（n－1）2d(d为公差)，即Sn＝d2n2＋a1－d2n.设A＝d2，B＝a1－d2，即得Sn＝An2＋Bn，因此，必要性成立．所以Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)是数列{an}是等差数列的充要条件．【点拨】在证明与探求充要条件时，容易出现如下错误：①张冠李戴，证明过程中把充分性与必要性搞反了；②证明充分性或必要性时，没有把“p”(或“q”)分别作为条件，推出“q”(或“p”)．已知m∈Z，关于x的一元二次方程x2－4x＋4m＝0，①x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，②求方程①②的根都是整数的充要条件．解：方程①有实数根⇔Δ＝16－16m≥0，即m≤1，方程②有实数根⇔Δ＝16m＋20≥0，即m≥－54，∴方程①②都有实数根⇔－54≤m≤1.∵m∈Z，∴m＝－1，0，1.当m＝－1时，方程①可化为x2－4x－4＝0，无整数解；当m＝0时，方程②可化为x2－5＝0，无整数解；当m＝1时，方程①②都有整数解．综上所述，方程①②的根都是整数的充要条件是m＝1.类型四充要条件的应用(1)设p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A.0，12B.0，12C．(－∞，0]∪12，＋∞D．(－∞，0)∪12，＋∞解：由|4x－3|≤1得12≤x≤1，由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝(x－a)[x－(a＋1)]≤0得a≤x≤a＋1，∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，有a≤12，a＋1＞1，或a＜12，a＋1≥1，得0≤a≤12.故选A.(2)已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A．[1，＋∞)B．(－∞，1]C．[－1，＋∞)D．(－∞，－3]解：由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，有a≥1.故选A.【点拨】解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解，在求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的情形．(1)(2015·湖南高三质检)函数f(x)＝log2x，x＞0，－2x＋a，x≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是()A．a0B．0a12C.12a1D．a≤0或a1解：∵函数f(x)过点(1，0)，∴函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无公共点．数形结合可得a≤0或a1.观察选项，根据集合间关系{a|a0}{a|a≤0或a1}，知A正确．故选A.(2)若xm－1或xm＋1是x2－2x－30的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．解：由已知易得{x|x2－2x－30}{x|xm－1或xm＋1}，又{x|x2－2x－30}＝{x|x－1或x3}，∴－1≤m－1，m＋1＜3或－1＜m－1，m＋1≤3，解得0≤m≤2.故填[0，2]．1．命题及判断命题的真假(1)判断一个语句是否为命题，就是要看它是否具备“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．只有这两个条件都具备的语句才是命题．(2)判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论．对涉及数学概念的命题真假的判断，要以数学定义、定理为依据(数学定义、定理都是命题，且都是