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数学建模课程设计第一作者：陈日训第二作者：专业班级：2012级水利水电工程2班论文题目：美苏核武器平衡状态变化模型团队个人信息：姓名学号分工2014年11月30号美苏核武器平衡状态变化问题【摘要】：核武器是一种大规模杀伤性武器，拥有核武器对一国的国防安全具有重要意义。当今世界上以美俄（苏）的核武器为最多，两个国家存在用核武器威慑对方以确保自身安全的竞争关系，对世界安全有重要影响。本课程设计以双方核威慑战略为基础，建立简化的数学模型，通过提出函数作图分析双方的安全区、威慑值、残存率及他们核军备的平衡问题。关键词：竞争、威慑值、残存率、平衡问题1.1.1模型问题的提出：战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。随着苏联解体和冷战结束，双方通过了一系列核裁军协议。问：（1）在什么情况下双方核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时平衡。（2）估计平衡状态下双方拥有最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。（3）当一方采取加强防御，提高武器精度，发展多弹头导弹等不同措施时，平衡状态会发生什么变化。1.2.1建立模型的条件假设为了有利我们建立模型，我们这样假设：（1）双方均只采用核威慑战略，没有其他影响对抗的方法。（2）以他们的核导弹数量来描述核军备规模。（3）不存在一枚导弹可以摧毁数枚导弹的情况（视为一对一的游戏），可以认为一枚导弹就是一个基地。这样的话合理的攻击行为就是不同的导弹尽可能去攻击对方不同的核基地。但我们不能确定一枚导弹就一定会摧毁一个基地，所以基地有一个存活率的问题，为了定量描述模型，我们再假设这一存活率为常数。1.2.2模型求解设当甲有x枚核导弹时，乙需要至少y=f(x)枚核导弹才会感到安全；当乙有y枚导弹时，甲需要至少x=g(y)枚导弹才会感到安全。依此，我们可以确定y=f(x)和x=g(y)两条曲线形式。在实际中X和y,f(x)和g(y)都不可能为负值，所以f(x)和g(y)均为在第一象限上的曲线。假设当x=0时，y=0，此时双方都没有核武器，没有讨论意义。当x=0,y=y0，此时y0表示甲实行第一次打击后没有导弹了，乙方为毁灭甲方目标所需的导弹数量。即y0为乙方的威慑值。由于其中任何一方增加核武器，另一方为了安全也必然会相应增加核武器，这是核威慑竞争的特点，所以它的图像曲线应该都是增函数。所以y=f(x)的图像应该如下图所示：图1因为乙只需其威慑值占优且核武数量比甲多就会感到安全，所以y=f(x)y0+x，即f(x)值总比y0+x小从图上可以知道乙的安全区在y=f(x)的上方。把甲所需的最少导弹数x=g(y)图像曲线加到y=f(x)图像上。如下图：图2从图可以知道甲的安全区在x=g(y)曲线的右边。当x=x0时乙会感到安全，但甲会感觉不安全，因此甲会制造核武器，当x=x1时，乙又会觉得不安全，因此乙又会生产更多的核武器，这样双方会不断竞争，直到到达P点，这时双方的核武器规模会最小，且确保了各自的安全，属于双方安全区，双方核武军备有望停止。1.2.3上述模型假设中没有考虑到导弹没有击中目标，或导弹没有爆炸的情况，基于核武威慑相互确保毁灭的原则，实际上我们应该考虑对敌攻击后，敌方核武器残存的情况。现做如下安排：甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率，即乙方的残存率为S。由于甲乙双方存在相互关系，现在分段考虑：1、当xy时，表示甲方以x枚导弹，会摧毁掉乙方SX枚导弹，乙会剩下y-x枚导弹没被攻击，则乙的威慑值为y0=Sx+y-x,得到y=y0+x-Sx2、当x=y,从1可以知道y0=Sx，得到x=3、核武器为大规模杀伤性武器，一般情况下一枚导弹只能摧毁一枚导弹也不太现实，而且一个基地基本也不可能仅有一枚导弹。当一方用多枚导弹攻击对方基地时，会相当于攻击两次的结果。当然这有点浪费，不过不能忽视这一情况。当yx2y时，说明乙有x-y枚导弹被攻击两次，如果两次均为独立事件的话，乙的导弹残存率（未被摧毁的导弹概率）就为S2(x-y)。只被攻击一次的导弹为y-(x-y)=2y-x。导弹的残存率为S(2y-x)。总体看得到：y0=S2(x-y)+S(2y-x)。当x=2y时，意味着所有导弹被攻击2次，残存率S2y。类似的还可以知道当2yx3y时，x-2y枚导弹被攻击3次，残存率为S3(x-2y),还可以有3yx4y及更多，为了定性描述，我们到yx2y为止。现在分析f(x)曲线。Y=f(x)中，yx2y的曲线斜率要比xy的曲线斜率小，且会与y=x相交，交点，x=y。得到如图：图3下面把x=g(y)加到f(x)曲线上，画在同一张图上,如下：图4从图可以看出当y0变大时，f(x)曲线上移，变陡，当S变大时，y会减小，曲线会变平。据此我们可以得出□1当甲方增加透明度时，y0将会变小，此时甲也不会花费更多军费去保护重要目标。这将会有利于降低军备竞赛，因为此时乙确信了甲的核武，它的核武数量在f(x)线上方。□2当甲加强力量保护好其导弹时，乙的安全线y0不变，甲的残存率变大，x0不变，x会减小。因此这会使双方的核武竞赛降低。□3当甲乙都发展核导弹或者多弹头时（多弹头时未打出仍是在一枚导弹里的，可视为一枚导弹）y0和x0都变小，S不变，y0下移变平，但是x=ky,中的k会变大，引起曲线变大变陡，最终曲线怎样变化，我们无从的知，我们无法判断双方核竞赛情况。2.2.1模型的特点评价本模型从美苏核竞赛出发，以简化、合理几个因素来建立模型并通过画出函数图像曲线来分析双方核武器相互联系相互制约的关系。虽然我们假设的条件在现实中比较理想，在实际情况中一国的核武器变化会同时受到许多因素的影响，但是本模型从定量的角度建模，仍然可以粗略反映两国的核武器变化，对核竞争的一些情况做出合理的解释。〖参考文献〗○12014年11月25日360百度百科“核威慑”的定义。○2中国大学视频公开课清华大学公开课数学模型现实世界的理性视角。工作报告一个月左右的课程设计，我们这个团队发现了自己在许多方面存在的不足。像包括时间规划的不合理性，知识的缺乏以及分工等等。但是，我们也从中学到了新的知识，学到了经验，最主要的是让我们懂得团队合作的重要性。在自己团队开始设计时，大家在对问题进行了相关的讨论和请教一些有经验的同学之后开始着手收集资料。在收集资料的过程中发现大部分涉及军事部分。我们并不能接触到相关的人员，大家就只能通过网络寻找已经曝光的资料和相关的记录片和新闻来获取小部分的信息。我们团队全部成员参与了这个过程，虽然事后发现大家找到信息不多，但在全队的努力下还是筛选出许多可以利用的内容。在模型假设这个过程中，因为能够利用的资源不多。我们团队主要负责这部分的同学陈日训、王慧斌对这个问题进行了详细的假设，抛弃了许多次要因素，仅是对主要问题进行了分析。这个过程他们充分考虑收集到资料的可利用性。对模型中分析进行大量的简化，但是相信大部分可以与实际相吻合。陈日训对该问题有多方面的假设，所有成员给予了相应的建议，王慧斌则负责审核其假设的合理性。建立模型主要是有陈日训和王慧斌两人完成，这个过程使用了大量的数学知识和计算机工具。在他们在争相讨论，各抒己见忙碌的同时，温故知新。同时激发了我们学习和探讨实际问题的兴趣，培养了很好的合作思考的能力以及逻辑思维能力。真正将理论和实践结合了起来。最终通过简单的表达方式清晰明了的呈现出该问题与结果间的线性关系。而在模型求解中，则运用解方程、画图形和证明定理等多种手段配合计算机得出了该问题的最后方案，模型分析似乎花费了最多的时间。经过不断的调整、计算、调整、运算多次往复的工作，最后得到最优方案。因为该问题是不可能在实际生活中的到检验，所以他们只是尽量的到一个理论上的最优方案并从理论上去解释其合理性。最后我们团队一致认为这次课程设计对于我们来说是一次难得的实践机会，使平时学习的知识得到运用，了解一些解决实际生活中的问题的方法，同时，也领会了团队合作的重要性，为未来的职业生涯奠定了基础。总之，这次的课程设计使我们收获很多，取得了更多的进步。最后感谢老师给予我们的帮助，耐心的指引我们向前。