12行列式的性质(用)

行列式的性质上一节我们给出了一般n价行列式的定义，根据定义计算n阶行列式，需要将n阶行列式化为n-1阶行列式，当行列式的阶数越大时，行列式计算就越复杂。为了简化行列式的计算，须先研究行列式的性质。将行列式D的行（或列）换成同序号的列（或行）得到的行列式称为行列式D的转置行列式。记行列式TD称为行列式D的转置行列式.性质1行列式与它的转置行列式相等.证明:记det()ijDa的转置行列式按定义证毕说明:行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成Dnnaaa2211nnaaa21122121nnaaa,212221212111nnnnnnTaaaaaaaaaD,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD,,,2,1,njiabijij即(,...)111212(,...)121211ppnnnnppTppnppppnDbbbaaaD立的对列也同样成立.例1、计算上三角行列式性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.证明:设行列式是由行列式D变换i,j两行得到的时当jik,时当jik,于是例如,......................................................21212111211212121112111nnnnjnjjiniinnnnniniijnjjnbbbbbbbbbbbbaaaaaaaaaaaaD;kpkpab,,ipjpjpipababDaaaaaaaaaaaabbbbDnijnijnijnjinjinjinjinjinpjpippppppnpjpippppppnpipjppppppnpjpipppppp111111111),...,,...,,...,(1),...,,...,,...,(1),...,,...,,...,(1),...,,...,,...,(11)1(111推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明:互换相同的两行，所得行列式任然是D，根据性质2有DD性质3行列式等于它任意一行（或列）的各元素与对应的代数余子式的乘积之和.即证明：性质4行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.即266853853266.825825361567567361.0Dnnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211,571571即1DkD证明：由行列式的定义证毕推推论论11行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．但是要注意，对行列式的行（列）提公因子时，要对行（列）分别进行。推推论论22若行列式的某一行（列）中所有元素均为零，则此行列式为零．性质5行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明:kDaaakaaakakaaaaakakakaaaaDninninninpppppppppppppppnnnniniin111),...,(111),...,(111),...,(2121112111......)1(......)1()......()1(111111431211111224322121112432212222例：04312121110432212000例：nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211.0性质6若行列式的某一行(列）的元素都是两数之和.若则D等于下列两个行列式之和：证明：由行列式的定义证毕例如nnnnininiiiinaaabababaaaaD...................21221111211nnnniniinnnnniniinaaabbbaaaaaaaaaaaaD......................................212111211212111211ninninniinnpippppnpippppnpipippppabaaaaabaaD......)1(......)1()......()1(1,...,11,...,11,...,11)(1)(1)(nnnniniinnnnniniinaaabbbaaaaaaaaaaaa......................................212111211212111211222112112221121122211211222112112222212112112222212112112222212112121111bbbbaabbbbaaaaaabababbbabaaababababa性质7把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列)对应元素上去，行列式的值不变．证明：由行列式的性质证毕注：由于上三角形行列式的值是其对角线元素的乘积，因此计算行列式常用方法是利用性质7，把行列式化为等值的上三角形行列式，从而算得行列式的值．为了以后叙述方便，我们引进下列记号：对换行列式的两行（或两列）记为111211112112121211221212..........................................nniiiniiinjjjnjijijninnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaakaakaakaaaaaaa即nnnnjnjjiniinnnnniniiiniinnnnnjnjjiniinnnnninjnijijiniinaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaakaaaaaaaaaaaaaaakaakaakaaaaaaaa....................................................................................2121211121121212111211212121112112122112111211)(jijiccrr或把行列式的第i行（或列）提出公因子k,记为把行列式的第i行（或列）乘k倍后加到第j行（或列）上去记为例2计算4阶行列式解：)(kckrii或)(jijickcrkr或例3计算n阶行列式解:将第2,3,…,n都加到第一列得例4计算n阶行列式abbbbabbbbabbbbaDabbbnababbnabbabnabbbbna1111abbbabbbabbbbna1111)1(babababbbbna1)1(.)()1(1nbabna例5解：3351110243152113D计算721606480112021317216011206480213133151120648021313315112043512131233121215rrrrrrccD40)2(2101000320011202131105400320011202131103200540011202131521510001080011202131721601080011202131434343423225284rrrrrrrrrr例6令证明证明:nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110设,)det(11111kkkkijaaaaaD,)det(11112nnnnijbbbbbD.21DDD化为下三角形行列式，把作运算对11DrkrDji化为下三角形行列式把作运算对22,DckcDji;0111111kkkkkpppppD设为.0111112nnnknqqpqqD设为,ijijDkkrrnkccD对的前行作运算，再对后列作运算把化为下三角形行列式,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppDnnkkqqppD1111故例7解方程例8计算4阶范德蒙德(Vandermonde)行列式小结行列式的6个性质(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．