13-14-2工程矩阵理论期末考试试卷

共5页第1页东南大学考试卷仅供参考课程名称工程矩阵理论考试学期13-14-2得分适用专业工科硕士研究生考试形式闭卷考试时间长度150分钟题号一二三四五六七得分nnC表示nn复矩阵全体在矩阵加法、数乘下所构成的复数域上的线性空间。一、（18%）设nnMC，记()|nnVMXCMXXM。1.证明：()VM是nnC的子空间。2.若2n，1001,0210AB，分别求()VA，()VB，()()VAVB以及()()VAVB的各一组基及它们的维数。学号姓名密封线共5页第2页二、（18%）已知1101,1110AB，线性空间22C上的变换f定义如下：对任意22XC，()fXAXB。1.证明f是22C上的线性变换。2.求f在22C的基11122122,,,EEEE下的矩阵。3.问：是否存在22C的一组基，使得f在此基下的矩阵是对角阵？如存在，试给出这样的一组基；若不存在，请给出理由。共5页第3页三、（14%）设矩阵110101111212A，4R的子空间4|0WxRAx。1.求W在4R中的正交补空间W的一组基；2.求(1,1,1,1)T在W中的正投影。四、（24%）设矩阵0000001001110010A。1.求A的若当标准形；共5页第4页2.求矩阵函数Ate；3.求A的广义逆矩阵A。五、（10%）已知,都是n维列向量，,分别表示在nC的标准内积下向量,的长度，矩阵HA。1.证明：关于范数，有2FAA。2.若1，证明：关于广义逆，有HAA。共5页第5页六、（8%）设V是n维欧氏空间，12,,,n是V的一个标准正交基，向量12n。对非零实数k，定义V上的线性变换f如下：对任意xV，(),fxxkx。证明：f是V上的正交变换当且仅当2kn。七、（8%）已知,AB都是n阶Hermite矩阵，且A是正定的。设AB的特征值全为1。1.证明：ABI。2.证明：存在次数小于n的多项式()fx，使得()BfA。