13-14-2概率论与数理统计A卷评分标准(本科48学时)

概率论与数理统计A卷评分标准(本科48学时)共4页第1页12013－2014学年第2学期概率论与数理统计A卷评分标准(本科48学时)一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）.1.已知()0.8,()0.9,(|)0.6PAPBPBA，则()PAB等于（A）0.9；（B）0.12；（C）0.72；（D）0.78.答：（D）2．设(,)Fxy为二维随机变量(,)XY的联合分布函数，则下列选项不正确的是（A）(,)(,)FxyPXxYy；（B）(,)1F；（C）(,0)0F；（D）(,0)1F.答：（D）3.设随机变量X服从正态分布2(0,)N，则概率{||}PX随着的增加而（A）单调增加；（B）单调减小；（C）保持不变；（D）增减不定.答：（C）4.若随机变量X服从正态分布211(,)N,Y服从正态分布222(,)N,则,XY的联合分布（A）一定是二维正态分布，且,XY的相关系数0XY；（B）未必是二维正态分布；（C）一定是二维正态分布，且,XY的相关系数XY无法确定；（D）以上选项都不对.答：（B）5.已知随机变量1X服从正态分布(0,2)N，2X服从正态分布(0,5)N，且12,XX相互独立.设2212YaXbX，若Y服从2(2)分布，则,ab的取值分别为（A）2,5；（B）12,15；（C）4,25；（D）14,125.答：（B）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）.6.在50张彩票中有5张奖票，甲、乙、丙三人依次不放回抽取其中一张彩票，则丙中奖的概率为0.1.7．已知离散型随机变量X的分布律为10120.30.40.10.2XP，则(1)PX=0.8.8.若随机变量,XY相互独立，且2DXDY,则(3)DXY=20.9．某电子计算机主机有100个终端，每个终端有20%的可能处于闲置状态，若各终端被使用与否是相互独立的.由中心极限定理，至少有15个终端闲置的概率约为0.8944（备用数据：(1.25)0.8944,(2)0.9772）.10.已知按某工艺生产的金属纤维的长度X(单位：mm)服从正态分布2()N,，现测定了16根此种金属纤维的长度，得样本均值2.4x，样本方差20.64s，则的置信水平为0.95的置信区间为(1.97,2.83)（结果保留到小数点后2位）（备用数据：0.0250.050.0250.05(15)2.1315,(15)1.7531,(16)2.1199,(16)1.7459tttt）.三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）.11.在数字通讯中，由于随机因素的干扰，当发出信号“0”时，收到信号“0”、“1”和“不清”的概率分别为0.7、0.2和0.1；当发出信号“1”时，收到信号“0”、“1”概率论与数理统计A卷评分标准(本科48学时)共4页第2页2和“不清”的概率分别为0.1、0.8和0.1，若整个发报过程中“0”和“1”出现的概率分别是0.6和0.4，问若收到信号“1”，发出的确实是信号“1”的概率.解：设A表示发出信号“1”，B表示收到信号“1”,则所求概率为()(|)...........................................................................(2')()(|)()...........................................(6')(|)()(|)()0.80.480.80.40.20.61PABPABPBPBAPAPBAPAPBAPA...................................................(10')112.已知连续型随机变量X的概率密度函数为3,01()20,xxfx其他,求：（1）(012)PX；（2）EX.解：（1）由概率密度函数的定义12120032(012)()...............(5')24PXfxdxxdx（2）由题意10().....................................................(7')334...................................................(10')2EXxfxdxxdx13．设二维随机变量(,)XY的联合概率密度函数23,01,01(,)0,xyxfxy其他,求:（1）2()PYX；（2）(,)XY关于X的边缘概率密度函数()Xfx；（3）条件概率(12|13)PYX.解：（1）由题意222{(,):}110()(,)..........................(2')2........................................................(3')379...........................................................xyyxxxPYXfxydxdydxdy............(4')（2）由边缘概率密度函数的定义10()(,)...............................................................(5')22,01(+1),01...............(7')330,0,Xxfxfxydydyxxx其它其他（3）在13X的条件下，Y关于X的条件概率密度函数为|34,043(13,)(|13).............................(9')0,(13)YXXyfyfyf其它因此12|(12|13)(|13)38..................................(10')YXPYXfydy概率论与数理统计A卷评分标准(本科48学时)共4页第3页314.已知连续型随机变量X的分布函数为0,1()(arctan),111,1xFxAxBxx,求：（1）常系数,AB；（2）{033}PX；（3）X的概率密度函数()fx.解：（1）由分布函数的性质(1)(1)0(4)..................................(1')FFAB(1)(1)(4)1.......................................(2')FFAB因此可得2,4.......................................................................(3')AB（2）由分布函数的性质{033}(33)(0)2(64)1213......(6')PXFF（3）X的概率密度函数22,11(1)()............................(10')0,xxfx其他15.已知二元离散型随机变量(,)XY的联合分布律为XY10100.10.2a1b0.10.2若(min{,}1)0.4PXY,求：(1）常数,ab；（2）,XY的协方差(,)CovXY.解：（1）由题意0.4(min{,}1)(1,0)(1,1)0.1......(2')PXYPXYPXYb故0.1,0.3............................................................................................(5')ab（2）由题意可算得0.1,0.6..................................................(7')EXEY又XY的分布律为XY101P0.30.50.2故()0.1...........................................................................................(8')EXY因此(,)()0.10.10.60.04.......................(10')CovXYEXYEXEY16.已知总体X的概率密度函数为22234,0()0,xxexfx其他,其中(0)是未知参数.若12,,,nXXXL是来自总体X的简单样本，求参数的极大似然估计量$.解：由题意，极大似然函数为22213114(,,;)()........................(3')ixnniniiixLxxfxeL故对数似然函数为212111ln(,,;)(ln4ln)2ln3ln..............(7')LnnniiiiLxxnxnx0.61.................................................................................................(3')ab概率论与数理统计A卷评分标准(本科48学时)共4页第4页4令2131ln(,,;)320.............................(9')nniidLxxnxdL可得的极大似然估计量212................................................(10')3$niiXn四、证明题（本大题共1个小题，5分）.17.设()gx是正值不减连续函数，若X为连续型随机变量且[()]EgX存在，证明：对任意实数a，有1{}[()]()PXaEgXga.证明：由题意{}{}{}()................................................................(1')()()........................................................(3')()1()()................()xaxaPXafxdxgxfxdxgagxfxdxga...................................(4')1[()].............................................................(5')()EgXga五、应用题（本大题共1个小题，5分）.18．某商店销售某种季节性商品（单位：箱），每售出一箱可获利5百元，过季未售出的商品每箱亏损1百元.以X表示该季节此种商品的销售量，据以往销售情况知X等可能的取区间[1,100]中的任一整数，问商店应提前贮备多少箱该种商品才能使获利的期望值达到最大.解：若商店提前贮备t箱该种商品,则获得的利润为5(),16,1()..........(1')5,1005,100tXtXXtXtXtLXttXttX由题意1(),1,2,,100,...................................(2')100PXiiL故获利的期望值为100100100111+12111()()()()(6)51001001001(3503).....................................................................(4')100tttti