13函数的定义域和值域

1．3函数的定义域和值域考点梳理1.常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母__________.(2)偶次根式函数被开方式__________.(3)一次函数、二次函数的定义域均为________.(4)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为____________.(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为____________.(6)y＝tanx的定义域为__________________.不等于0大于或等于0RR(0，＋∞){x|x≠kπ＋π2，k∈Z}(7)y＝x0的定义域为__________.(8)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．{x∈R|x≠0}2．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是____________.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a＞0时，值域为________________；当a＜0时，值域为______________.(3)y＝kx(k≠0)的值域是____________.(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是____________.(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是____________.(6)y＝sinx，y＝cosx的值域是____________.(7)y＝tanx的值域是____________.R4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a(－∞，0)∪(0，＋∞)(0，＋∞)R[－1,1]R考点自测1.下列函数中，与函数y＝1x有相同定义域的是()A．f(x)＝lnxB．f(x)＝1xC．f(x)＝|x|D．f(x)＝ex解析：y＝1x的定义域为(0，＋∞)，函数f(x)＝lnx的定义域为(0，＋∞)，故选A.答案：A2．函数y＝x2－2x的定义域是{0,1,2}，则该函数的值域为()A．{－1,0}B．{0,1,2}C．{y|－1≤y＜0}D．{y|0≤y≤2}解析：x＝0时，y＝0；x＝1时，y＝－1；x＝2时，y＝0，故函数的值域为{－1,0}，选A.答案：A3．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是()A.B.C.D.解析：A选项图形表示的函数其值域不是[0,1]，B选项图形表示的函数其定义域不是[0,1]，D选项图形不表示函数，排除A、B、D，选C.答案：C4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)解析：∵3x＋1＞1，∴f(x)＝log2(3x＋1)＞log21＝0.答案：A5．若f(x)＝12121logx，则f(x)的定义域为()A.－12，0B.－12，0C.－12，＋∞D．(0，＋∞)解析：由log12(2x＋1)＞0，即0＜2x＋1＜1，解得－12＜x＜0.答案：A疑点清源1.抽象函数定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．2．求函数值域的常用方法(1)配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数的值域，其关键在于正确化成完全平方式．(2)换元法：常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．形如y＝ax＋b±cx－d(a，b，c，d均为常数且a，c≠0)的函数常用此法求解．注意换元的等价性．(3)不等式法：借助于基本不等式a＋b≥2ab(a＞0，b＞0)求函数的值域．用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”．(4)单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据其单调性求函数的值域，常用到函数y＝x＋px(p＞0)的单调性：增区间为(－∞，－p]和[p，＋∞)，减区间为(－p，0)和(0，p)．(5)分离常数法；(6)有界函数法；(7)导数法.题型探究题型一由函数的解析式求其定义域例1.函数f(x)＝ln2＋x－x2|x|－x的定义域为()A．(－1,2)B．(－1,0)∪(0,2)C．(－1,0)D．(0,2)解析：由题意，得2＋x－x2＞0，|x|－x≠0，解得－1＜x＜0，故f(x)的定义域为(－1,0)，选C.答案：C点评：由函数的解析式求其定义域的方法步骤为：第一步，列出使函数解析式有意义的不等式组；第二步，正确求解不等式组(不等式组的解是各个不等式解集的交集)；第三步，用区间或集合表示不等式组的解便可得函数的定义域．变式探究1若函数f(x)＝2221xaxa的定义域为R，则a的取值范围为__________．解析：由题意，得222xaxa＋－－1≥0对x∈R恒成立．即2x2＋2ax－a≥20对x∈R恒成立．亦即x2＋2ax－a≥0对x∈R恒成立．故Δ＝4a2＋4a≤0，得－1≤a≤0.所以，a的取值范围是[－1,0]．答案：[－1,0]题型二求抽象函数的定义域例2.若函数f(x＋1)的定义域为[0,1]，求函数f(2x－2)的定义域．解析：∵f(x＋1)的定义域为[0,1]，∴0≤x≤1，∴1≤x＋1≤2.∴1≤2x－2≤2，∴3≤2x≤4.∴log23≤x≤2.∴f(2x－2)的定义域为[log23,2]．点评：对于抽象函数的定义域，在同一对应关系作用下，不管接受关系的对象是字母还是代数式，都应在同一范围内受到约束．变式探究2已知函数f(2x)的定义域为[－1,1]，求函数f(log2x)的定义域．解析：∵函数f(2x)的定义域为[－1,1]，∴－1≤x≤1，12≤2x≤2.∴函数f(x)的定义域为12，2.由12≤log2x≤2，得2≤x≤4.故函数f(log2x)的定义域为[2，4].题型三求已知函数的值域例3.求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1x－3；(2)y＝x－1－2x；(3)y＝|x1－x2|.解析：(1)将原函数变形为y＝2x－6＋7x－3＝2＋7x－3.∵x≠3，∴7x－3≠0.∴y≠2，即函数值域为{y|y∈R，且y≠2}．(2)方法一：设1－2x＝t(t≥0)，得x＝1－t22，∴y＝1－t22－t＝－12(t＋1)2＋1≤12(t≥0)，∴y∈－∞，12.方法二：∵1－2x≥0，∴x≤12，∴定义域为－∞，12.∵函数y＝x，y＝－1－2x在－∞，12上均为单调递增，∴y≤12－1－2×12＝12，∴y∈－∞，12.(3)方法一：∵函数为偶函数，且定义域为[－1,1]．∴当x∈[0,1]时，y＝x1－x2，令x＝sinα，α∈0，π2，则y＝sinαcosα＝12sin2α.∵2α∈[0，π]，∴sin2α∈[0,1]，∴y∈0，12.∴ymin＝0(x＝0，x＝1时取到)，ymax＝12x＝22时，故值域为0，12.方法二：配方法：x∈[0,1]时，y＝x1－x2＝x21－x2＝－x4＋x2＝－x2－122＋14∈0，12；若用基本不等式：x∈[0,1]时，y＝x21－x2≤x2＋1－x22＝12.“＝”当且仅当x2＝1－x2，即x2＝12，x＝22时取到，故ymax＝12，在[0,1]上，x＝0或x＝1时，ymin＝0.故值域为0，12.点评：求函数值域要记住各种基本函数的值域；要记住具有什么结构特点的函数用什么样的方法求值域；对各种求函数值域的方法要熟悉，遇到求值域的问题，应注意选择最优解法；求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的约束作用；函数的值域常常化归为求函数的最值问题．变式探究3求下列函数的值域：(1)y＝－x2＋2x(x∈[0,3])；(2)y＝x2－xx2－x＋1；(3)y＝x＋1－x2.解析：(1)∵y＝－(x－1)2＋1，根据二次函数的性质，可得原函数的值域是[－3,1]．(2)y＝x2－xx2－x＋1＝1－1x2－x＋1，∵x2－x＋1＝x－122＋34≥34，∴－13≤1－1x2－x＋1＜1，即－13≤y＜1.故值域为－13，1.(3)先考虑函数定义域，由1－x2≥0，得－1≤x≤1，设x＝cosθ(θ∈[0，π])，则y＝sinθ＋cosθ＝2sinθ＋π4，易知当θ＝π4时，y最大值为2，当θ＝π时，y最小值为－1，∴原函数的值域是[－1，2].题型四函数定义域、值域的综合应用例4.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a、b是常数，且a≠0)满足条件：f(2)＝0，且方程f(x)＝x有两个相等实根．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m,2n]？如存在，求出m、n的值；如不存在，说明理由．解析：(1)方程f(x)＝x，即ax2＋bx＝x，亦即ax2＋(b－1)x＝0，由方程有两个相等的实根，得Δ＝(b－1)2－4a×0＝0，∴b＝1.由f(2)＝0，得4a＋2b＝0，由①、②得，a＝－12，b＝1，故f(x)＝－12x2＋x.(2)假设存在实数m、n满足条件，由(1)知，f(x)＝－12x2＋x＝－12(x－1)2＋12≤12，则2n≤12，即n≤14.∵f(x)＝－12(x－1)2＋12的对称轴为x＝1，∴当n≤14时，f(x)在[m，n]上为增函数．于是有fm＝2m，fn＝2n即－12m2＋m＝2m，－12n2＋n＝2n，∴m＝－2或m＝0，n＝－2或n＝0.又m＜n≤14，∴m＝－2，n＝0.故存在实数m＝－2，n＝0，使f(x)的定义域为[m，n]，值域为[2m,2n]．点评：①对既给出定义域又给出解析式的函数，可直接在定义域上用相应方法求函数值域．②若函数解析式中含有参数，要注意参数对函数值域的影响，即要考虑分类讨论．③可借助函数图象确定函数的值域或最值．变式探究4已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x＋x2.(1)求x＜0时，f(x)的解析式；(2)问是否存在这样的非负数a，b，当x∈[a，b]时，f(x)的值域为[4a－2,6b－6]？若存在，求出所有a，b的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)设x＜0，则－x＞0，于是f(－x)＝－x＋x2，又f(x)为奇函数，即x＜0时，f(x)＝x－x2.(2)假设存在这样的数a，b.∵a≥0，且f(x)＝x＋x2在x≥0时为增函数，∴x∈[a，b]时，f(x)∈[f(a)，f(b)]＝[4a－2,6b－6]，∴6b－6＝fb＝b2＋b，4a－2＝fa＝a2＋a⇒b2－5b＋6＝0，a2－3a＋2＝0⇒b＝2或b＝3，a＝1或a＝2，即a＝1，b＝2，或a＝1，b＝3，或a＝2，b＝2，或a＝2，b＝3，考虑到0≤a＜b，且4a－2＜6b－6，可得符合条件的a，b值分别为a＝1，b＝2，或a＝1，b＝3，或a＝2，b＝3.名师归纳•方法与技巧1．对于函数的定义域(1)求具体函数定义域的步骤：①写出使函数式有意义的不等式(组)；②解不等式(组)；③写出定义域．(2)已知f(x)定义域求f[g(x)]定义域或已知f[g(x)]定义域求f(x)定义域问题，关键抓住一条；同一对应关系符号后面式子范围相同，即f[g(x)]中的g(x)相当于f(x)中的x.(3)已知函数定义域求其中字母参数范围问题，通常转化为不等式在定义域内恒成立问题．2．对于函数的值域(1)在熟练掌握求函数