13函数的应用(包括实际应用一元二次函数的应用)

13.函数的应用（包括实际应用、一元二次函数的应用）1.函数2()2fxxaxa在区间(1)∞，上有最小值，则函数()()fxgxx在区间(1)，∞上一定（）A.有最小值B.有最大值C.是增函数D.是减函数【命题意图】本题考查复合函数的综合应用.C【解析】因为函数2()2fxxaxa在区间(1)∞，上有最小值，所以该二次函数的对称轴需要小于1，可以得出1a,函数()()2fxagxxaxx…2aa，当(1,)x∞时()gx是增函数.2.（本小题满分12分）某商店如果将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在提高售价以赚取更多利润．已知每涨价0.5元，该商店的销售量会减少10件，问将售价定为多少时，才能使每天的利润最大？其最大利润为多少？【命题意图】本题考查二次函数的应用.【解】设每件售价定价为10+0.5x元，则销售件数少了10x件.所以每天所获利润为：2(20.5)(20010)580400yxxxx.（6分）故当8x时，有max720y.所以当售价定价为14元时可获利润最大，其最大利润为720元.（6分3.某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.(1)该船捕捞几年开始盈利（总收入减去成本及所有费用之差为正值）？（2）该船捕捞多少年后，盈利总额达到最大？【命题意图】本题考查二次函数在实际问题中的应用.【解】（1）设捕捞n年后开始盈利，盈利为y元，则2(1)5012498224098nnynnnn由0y解得10511051n-＜＜，*,317nnN≤≤即捕捞3年后，开始盈利.（2）由（1）知，2224098210102ynnn故经过10年的捕捞，盈利额最大.4.设二次函数)(xf=22xm的图象顶点为C，与x轴交点分别为BA,，若ABC△的面积为64,则m的值为_____________．【命题意图】本题考查二次函数与三角形的综合应用.4【解析】由二次函数的性质知道三角形的高即为2m，函数两个根分别为12,xmxm，所以有212642ABCSmm，解得4m.5.在经济学中，函数)(xf的边际函数)(xMf定义为)()1()(xfxfxMf.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台()xN的收入函数为单位：元）(203000)(2xxxR，其成本函数为单位：元）(4000500)(xxC,利润是收入与成本之差.（1）求利润函数)(xP及边际利润函数)(xMP；(2)利润函数)(xP及边际利润函数)(xMP是否具有相同的最大值？并说明理由.【命题意图】本题考查二次函数在实际问题中的应用.【解】：由题意知，且],100,1[xxN)()()(1xCxRxP）（=2203000xx-）4000500(x=40002500202xx（且],100,1[xxN）……………2分)(xMP=(1)()PxPx=4000)1(2500)1(202xx)4000250020(2xx=248040x（且],100,1[xxN）………………2分(2))(xP=40002500202xx=20(2)2125x+74125,当x=62或x=63时，)(xP取得最大值为74120元．………………3分)(xMP=248040x是减函数，因为且],100,1[xxN，所以当x=1时，)(xMP的最大值为2440元．…………2所以利润函数)(xP及边际利润函数)(xMP不具有相同的最大值．………………1分6.（杭州市2015年高职二模）（9分）某广告公司设计一块周长为8米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，若矩形一边长为x，面积为S平方米.（1）求S与x的函数关系式及x的取值范围.（2）要使广告牌费用最多，广告牌的长与宽分别为多少米？此时广告费为多少？【考查内容】二次函数的实际应用.【解】NXJ12（第33题图）（1）如图所示，设长ON为x米，则宽OP为4x米.(4)Sxx,(0,4)x;（2）设广告费为y元，则21000(4)10004000yxxxx，则当400022(1000)x时，max4000y.答：长为2米，宽为2米时，光告费最多为4000元.7.（2015年杭州一模）在矩形荒地ABCD中，AB=12米，BC=8米，今在四边上分别选取E、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x米，建一个花园EFGH.（1）写出花园EFGH的面积y与x的函数解析式；（5分）（2）当x为何值时，花园面积最大并求最大值.（5分）NXJ10【命题意图】本题考查一元二次函数的应用.【解】（1）)12)(8(2122128122xxxy……………3分=xx2022；……………………………………………1分（)80x……………………………………………1分（2）50)5(22xy，米时，当5x……………………………………………2分2max50my.………………………………………………2分答：当米时，5x花园面积最大是50平方米.……………1分8.将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，若每件售价涨价1元，其销售量就减少20件.问应将售价定位多少时，才能使每天所赚利润最大，并求出这个最大利润.【命题意图】本题考查函数的实际应用.【解】设每件售价提高x元，则每件得利润（x+2）元，每天销售量变为（200－20x）件，所获利润为：y=（2+x）（200－20x）（0≤x10）=220(4)720x，当4x元时，即售价定为14元时，每天可获最大利润为720元.9.（2015年嘉兴一模）如图，甲船沿着箭头方向从A地开出，同时，乙船沿箭头方向由B地开到A地.已知AB＝10海里，甲乙两船的速度分别为2海里/分钟和1海里/分钟，（1）写出甲乙两船距离S（海里）与时间t（分钟）的函数关系式；（2）求多少时间后，两船距离最近，最近距离是多少?第34题图WDM64【命题意图】本题考查函数的实际应用.【解】（1）t分钟后，甲船行驶了2t海里,乙船离A地(10)t海里，根据勾股定理：22(10)(2)Stt2520100tt（010t剟）;（2）S=22252010054205(2)16ttttt，当2t时，min45S,2分钟后，两船距离最近，最近距离为45海里.10.（嘉兴二模）如图，某小区要在一块直角三角形的绿地上围出一块矩形花园，已知直角三角形直角边长分别为4m、8m，且使矩形花园的两边落在三角形的直角边上，另一个顶点在斜边上，使得巨星花园面积最大，矩形一边长为x,试求（1）矩形花园面积y与边长x的函数关系式；（2）当矩形花园的边长分别为多少时面积最大？最大面积为多少？第34题图WDM33【命题意图】本题考查二次函数的实际运用.【解】（1）由已知得长为82x，2(82)28yxxxx（04x）；2）当82m2(2)x时，2max8my，当矩形花园一边的长为4m，另一边为2m时面积最大为82m.11.某厂生产某种零件时，每个零件的成本为40元，出厂定价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元?(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，请写出函数()Pfx的表达式.(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个零件时，该厂获得的利润又是多少元？【命题意图】本题考查函数的应用．【解】（1）设有x个零件，由题意得：600.02（x100）=51，600.02x+2=51，0.02x=11，x=550.答：当一次订购量为550个时，零件的实际出厂单价恰降为51元；（2）①当550x…，单价都是51元；此时P是恒值51，不随x变化；②100550x＜„时，600.02100Px（）600.022620.02xx，此时x单价P的关系式为：620.02Px，60,0100()620.02,100550()51,550xfxxxxxN„…；（3）220,0100(40)22100550()5011,550xxxLPxxxxxxN，„…，当x=500，时L=6000，当x=1000时，L=11000．12.某企业生产一种产品，其成本为每件0.16万元，经调研，该产品以0.2万元/件投放市场，每年能销售3.6万件，若产品以0.25万元/件投放市场，每年能销售2.1万件，假定年销售件数y（万件）是价格x（万元/件）的一次函数.（1）试求y与x之间的关系式；（2）在企业不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每年获得最大利润？每年的最大利润是多少？（总利润=销售总收入-总成本）【命题意图】本题考查一次函数的实际运用以及求最值.【解】（1）设)0(,kbkxy，则bkbk25.01.22.06.3，解得6.930bk，则)32.016.0(,6.930xxy（单位：万件）；（2）设利润为w，则)6.930)(16.0()16.0(xxyxw（单位：亿）即192.0)24.0(302xw则当销售价格定为0.24万元时，可以获得最大利润，为1920万元.13.在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，如果购买2000吨，每吨为700元，一客户购买400吨，单价应该是（）A.820元B.840元C.860元D.880元【命题意图】本题考查一次函数的应用.C【解析】设一次函数的方程为ykxc，将1212800700,10002000xxyy代入方程，得方程组80010007002000kckc，解得109000kc，即方程为109000yx，一客户购买400吨，单价应该是860元，故选C.14.到银行办理不超过100万元的个人异地汇款时，银行要收取一定的手续费.汇款额不超过100元时，收取1元手续费；超过100元但不超过500元，按汇款额1%收取；超过500元，一律收取50元手续费.(1)当汇款额为x元时，设银行收取的手续费为y元，写出y与x之间的函数关系式；（2）要求出手续费y，其算法结构是什么结构？（3）画出算法程序框图.【命题意图】本题考查函数的应用.【解】(1)依题意可知y＝1,(0100)0.01,(1005000)5050001000000xxxx≤≤，（≤）;（2）由此看出，求手续费时，需先判断x的范围，故应用条件结构描述.（3）其算法程序框图如下图所示.wmm0115.如图，在河的南岸有一块成三角形的空地，市政部门规划在这块空地上建一个矩形小广场，以满足居民跳广场舞的需要，测得AC＝60米，BC＝100米，∠ACB＝90°.(1)求矩形广场CDMN的面积y与宽x之间的函数关系式；(2)当矩形广场的长和宽分别是多少时，广场的面积最大？最大面积是多少？第34题图mtt4【命题意图】本题考查二次函数的实际应用.【解】（1）由题意可得BCBNACMN，即10060BNx，得xBN35，故矩形的长xCN35100，所求函数关系式为xxy35100xx100352600x；（2）当30352100