13多自由度耦合系统的振动概述

1.3两个自由度耦合系统的振动第一章集中参数机械振动系统的振动内容提要一、两自由度耦合振动系统的强迫振动二、两自由度耦合振动系统的自由振动三、多自由度振动系统Cm1Cm2f1Cm3f2m1m2Rm1Rm2阻抗型类比电路：Cm3Cm1Cm2m1m2Rm1Rm2f1f2V2V1V3一、两自由度耦合振动系统的强迫振动)1(~11101mCmjRZ其四端等效网络为：其中：)1(~22202mCmjRZ301~mCjZ一、两自由度耦合振动系统的强迫振动对于四端网络，一般分析时定义：（1）输入阻抗：Z11，Z22端短路时，从端看进去的阻抗端短路时，从端看进去的阻抗0~11112|~~FUFZ2~F1~F0~22221|~~FUFZ1~F2~F一、两自由度耦合振动系统的强迫振动（2）转移阻抗（传输阻抗）Z12，Z210~21122|~~FUFZ0~12211|~~FUFZ（3）自阻抗：——F2开路时，从F1看进去的阻抗——F1开路时，从F2看进去的阻抗0~1112|~~~UUFZ0~2221|~~~UUFZ（4）耦合阻抗：301mCjZ一、两自由度耦合振动系统的强迫振动如果取：0011~~~ZZZ0022~~~ZZZ20111~~~~~UZUZF10222~~~~~UZUZF据‘网络理论’有：一、两自由度耦合振动系统的强迫振动例：简单情况，单端激励时，0~2F上式化为：20111~~~~~UZUZF1022~~~~0UZUZ220101111~~~|~~2ZZZUFZF1)消去U2得：2)消去U1得：0202102112~~~~|~~2ZZZZUFZF传输阻抗输入阻抗一、两自由度耦合振动系统的强迫振动在此情况下分析m2的振动：（归结为分析1/Z12的频率特征）1212~~ZFU0202112~~~~ZZZZZ311111)1(~mmCjCmjRZ322221)1(~mmCjCmjRZ301~mCjZ若令：)11(3111mmCCmX)11(3222mmCCmX其中：;一、两自由度耦合振动系统的强迫振动则：)}1(){(21232211211312RRCXXjXRXRCZmm又，若阻相对较小，即：R1R2X1X2，则有：)}1(){(232211211312mmCXXjXRXRCZ分析：上式虚部为0时，系统中的m2振速的幅值达到最大；（振速共振），有：0))((012221222221223221kCXXm（其中k，见后）一、两自由度耦合振动系统的强迫振动13101111DCCCmmm为简化表示，令：23202111DCCCmmm331DCm1112mRm2222mRm1121mD2222mD131DDk232DDk21kkk;;;;;;;一、两自由度耦合振动系统的强迫振动解上式可得：此二频率为两个自由度小阻尼耦合系统受迫振动时，m2的振速共振频率。可推知，它也是m1的振速共振频率。显然：),min(),max(2121222122222122214)(21)(21k222122222122214)(21)(21k一、两自由度耦合振动系统的强迫振动两个自由度小阻尼耦合系统受迫振动时m2（或m1）的幅频特性曲线：（双峰结构）一、两自由度耦合振动系统的强迫振动下面由运动方程，求解自由振动：（1）运动方程：Cm1Cm2Cm3m1m2Rm1Rm20)(1121311112121xxCxCdtdxRdtxdmmmm0)(1112312222222xxCxCdtdxRdtxdmmmm二、两自由度耦合振动系统的自由振动13101111DCCCmmm为简化表示，令：23202111DCCCmmm331DCm1112mRm2222mRm1121mD2222mD131DDk232DDk21kkk02221112111212xkxdtdxdtxd02122222222222xkxdtdxdtxd二、两自由度耦合振动系统的自由振动方程可化为：；；；；；；；（2）简正振动：为使问题简单，分析无阻尼情况（δ1＝0，δ2＝0）；有02211121212xkxdtxd01222222222xkxdtxd解之，令：代入方程，则方程化为：tAex1tBex20)(211212BkA0)(222222BAk*二、两自由度耦合振动系统的自由振动因为，A，B不同时为0（？），则据线性代数方程理论知，A，B的系数行列式为0，即：0)()(222222211212kk此方程称为频率方程或特征方程。解之可得λ的值，它有四个值：jj二、两自由度耦合振动系统的自由振动分析：a、若k=0（无耦合），则：b、若k≠0，则：12),max(21),min(21222122222122214)(21)(21k222122222122214)(21)(21k二、两自由度耦合振动系统的自由振动所以，可得方程的解为：tjtjtjtjeAeAeAeAtx''1)(tjtjtjtjeBeBeBeBtx''2)(其中A+，A+`，A-，A-`，B+，B+`，B-，B-`有关系（通过方程*形成的关系），真正独立的只有4个，并且这4个独立量由初条件确定。二、两自由度耦合振动系统的自由振动AkBAkBBkAjj211221211212211212)(0)(AkBAkBBkAjj211221211212211212)(0)(`211221`AkB`211221`AkB0)(211212BkA0)(222222BAk上式中，取第一个等式，得：二、两自由度耦合振动系统的自由振动又若，实初条件，经过运算可得：其中：由初条件确定。)cos()cos()(2112212112212tkatkatx)cos()cos()(1tatatx,,,aa二、两自由度耦合振动系统的自由振动结论：两个自由度无阻尼耦合系统的自由振动，每一个质量的振动均为两个谐合振动的迭加。定义：简正振动，是多自由度耦合振动系统自由振动的方式。多自由度耦合振动系统在自由振动时，在每一个自由度上的振动，可分解成多个简谐振动的迭加形式，其中的每一个简谐振动称为该系统的一个简正振动，其频率称为该系统的一个简正频率。简正振动的频率决定于系统参数，振幅决定于初条件。简正频率是多自由度系统自由振动的固有频率，小阻尼条件下，在数值上与该系统受迫振动的速度共振频率相等。二、两自由度耦合振动系统的自由振动（3）能量在二振子间的传递初条件：t=0时：x1=A，x2=0，则可得：01x02x)2sin()2sin()2cos()2cos()(2222211ttAttAtx)2sin()2sin(2)(222122ttmmAtx式中，在莫尔斯《振动与声》中称之为“耦合系数”。213mmD二、两自由度耦合振动系统的自由振动，形成拍振动。能量在二振子间“流动”的过程：振子1的机械能在振动过程中传给振子2，经一段时间后，振子2又把机械能全部还给振子1；而振子1的能量并不全部给振子2，但振子2的能量全部还给振子1。这个过程循环往复。二、两自由度耦合振动系统的自由振动)2cos()2cos()(1ttAtx)2sin()2sin()(212ttDDAtx21若，特殊情况：振子1的能量全部传给振子2，振子2又把能量全部传给振子1。能量在二振子间不断‘流动’。二、两自由度耦合振动系统的自由振动三、N个自由度耦合振动系统振动简述（1）自由振动A.由n个二阶常系数齐次微分方程构成的方程组描述其运动。B.每一个自由度上振子的振动可以包括n个简正振动分量。C.系统有n个固有频率（简正频率）。D.固有频率（简正频率）由系统参数决定。E.振子振动的各简正振动的幅值分布由初条件决定。（2）受迫振动A.可利用机电类比电路分析其受迫振动。B.受迫振动达到稳态后，每一个自由度上振子振动响应取决于系统参数和激励力的频率及幅度。C.n个自由度的振动系统有n个谐振频率（速度共振频率），在小阻尼条件下，它们等于系统的固有频率。[注]特征方程重根，称作简并，此时，简正频率数目减少。三、N个自由度耦合振动系统振动简述