13行列式按行(列)展开定理

1§1.3行列式按行(列)展开定理一.按一行(列)展开行列式二.行列式按某k行(列)展开三.小结与思考题2111213212223313233aaaaaaaaa22232123111232333133aaaaaaaaaa可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来计算.问题：一个n阶行列式是否可以转化为若干个n-1阶行列式来计算？一.按一行(列)展开行列式2122133132aaaaa3定义1.5在n阶行列式中,把元素ija所在的第i行和余子式.记为.ijM称1ijijijAM为元素的代数余子式.例如11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa第j列划去后,余下的n-1阶行列式叫做元素ija的ija11121423313234414244aaaMaaaaaa42323231AM23M11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa的余子式.23a的代数余子式.23a521232412313334414344aaaMaaaaaa1212121AM12M11121344212223313233aaaMaaaaaa444444441AMM注行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.6引理若在n阶行列式D的第i行中有一个元素aij≠0,其余元素全为零,则D=aijAij.定理1.4设n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa则n阶行列式D的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.即71122iiiiininDaAaAaA1,2,,in证(只证按行展开第一式)将行列式D改写为111211212000000niiinnnnnaaaaaaDaaaD=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj(j=1,2,…,n)或8由行列式性质2及引理，得11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaa=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin.(i=1,2,…,n)同理可证按列展开式成立.911141003102(1)0104(1)501232023D解按第一行展开,得()22461588例1计算行列式20043100.50100232D10推论n阶行列式D的任意一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积的和等于零.即11220,.kikikninaAaAaAki11220,.kikinkniaAaAaAki证由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.1111121121212niiinkkknnnnnaaaaaaDaaaaaa在行列式中,如果令第i行的元素等于另外一行,譬如第k行的元素．11121121212nkkknkkknnnnnaaaaaaaaaaaa12则1122kikikninaAaAaA行列式含有两个相同的行,值为0.13综上所述,得公式1122kikikninaAaAaA,0Dkiki（当），（当）1122ljljnlnjaAaAaA,0Dljlj（当），（当）注在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式并不一定简化计算,因为把一个n阶行列式换成n个(n－1)阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时,应用展开定理才有意义，但展开定理在理论上是重要的．14利用行列式按行按列展开定理,并结合行列式性质,可简化行列式计算：计算行列式时,可先用行列式的性质将某一行(列)化为仅含1个非零元素,再按此行(列)展开,变为低一阶的行列式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式.例2计算行列式31125134.20111533D15解3112513420111533D51111113100105530132cc43cc1633511(1)11115505116205501362(1)5582054021rr17例3计算n阶行列式1221100001000000.0001nnnxxxDxaaaaxa18解将Dn按第一列展开1221100000001nnnxxDxxaaaax11000100(1)000001nnxaxx于是,得递推公式1nnnDxDa而由递推公式,得121nnnDxDa继续递推公式,得11Dxa故22121()nnnnnnnDxxDaaxDaxa192341234()nnnnxxDaaxaxa1212nnnnxaxaxa例4证明范德蒙(Vandermonde)行列式1()(5)ijnijxx122221211112111nnnnnnnxxxxxxDxxx20证用数学归纳法21211Dxx21xx21()ijijxx(1)当n=2时,结论成立.(2)设n-1阶范德蒙行列式成立,证明n阶也成立.122221211112111nnnnnnnxxxDxxxxxx11nnrxr112nnrxr211rxr212131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx11(),ixx按第列展开,再把每列的公因子提出232131122223111()()()nnnnnnxxxxxxxxxxxxn-1阶范德蒙行列式22213112()()()()nijnijxxxxxxxx1().ijnijxx证毕.用降阶法计算行列式的值.（按行按列展开）1112114124611242D=57练习题23例5利用性质及展开定理计算行列式的值.解14142143423113092124rr322rr7017821430055309224按第二列展开2271781(1)05539223cc72580053112按第二行展开237255(1)3115(7775)1025例6计算行列式xaaaaaxaaaDaaxaaaaaxa26[(2)]Dxna1111aaaxaaaaxaaaaxa解将行列式每一列加到第一列，则2721311nrrrrrr[(2)]xna1020000200002aaaxaxaxa1[(2)](2)nxnaxa28例7计算行列式111112001030100Dn解我们称行列式D为箭形行列式解决的目标：化为上三角形行列式.2912311123nccccn21111102000030000niin21!(1)niniD30例8计算行列式123123123123nnnnabaaaaabaaaaabaDaaaab3121311nrrrrrr123000000nabaaabbbbbb12nccc箭形行列式D321223()000000000nnaaabaaabbb112[()]()nnaaabb33例91234xaaaaxaaDaaxaaaax(,1,2,3,4)ixai（可以化为箭形行列式）213141rrrrrr1121314000000xaaaaxxaaxxaaxxa3411234110010101001xaaaxaxaxaxa41()iixa4121234010000100001iixaaaaxaxaxaxaxa351234cccc41()iixa441211)()iiiixaxaxaxa(36二.行列式按某k行(列)展开定义1.6在n阶行列式D中任取k行k列(1≤k≤n),称位于这些行与列的交叉点处的k2个元素按照其在D中的相对位置所组成的k阶行列式N为D的一个k阶子式.111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa2122112nnaaNaa37称划去N所在的行与列后剩下的元素按照其在D中的相对位置所组成的n-k阶行列式M为N的余子式.13141333431,31,41,(2)nnnnnnnaaaaaaMaaa若N所在的行与列的行标与列标分别为12,,,kiii38例10设14142143423113092D则D的位于第1、3行,第2、3列的2阶子式为及12,,,,kjjj则称1212()()(1)kkiiijjjM为N的代数余子式,记作A.即1212()()(1)kkiiijjjAM3914123N，N1的代数余子式为(13)(23)123(1)32AD的位于第1、3、4行,第2、3、4列的3阶子式为24142311092N，N2的代数余子式为(134)(234)2(1)22A40显然,n阶行列式D位于某k行的k阶子式有knC个,从而D共有2()knC个k阶子式.定理1.5n阶行列式D等于其位于某k行的所有k阶12,,,tNNN子式与其对应的代数余子式A1,A2,...,At的乘积之和,即1()tkiiniDNAtC其中显然,定理1.4是定理1.5中k=1时的特例.按照定理1.5展开行列式似乎很繁,但当行列式的某些行中有众41多的零时,定理1.5的实用价值立即展现出来.例11计算行列式12340210.56780030D解因为D中第2、4行的246C个2阶子式中只有一个是非零的.故将D按第2、4行展开得2103D(24)(23)14(1)725842例12计算m+n阶行列式1111111111110000mnmmmmmnnnnnaaccaaccDbbbb43解按前m列展开,得1111mmmmaaDaa111(12)(12)1(1)nmmnnnbbbb1111mmmmaaaa1111nnnnbbbb44例13计算2n阶行列式2nababDbaba(其中未写出的元素皆为零）解按第1、2n行展开,因位于这两行的全部2阶子式中只有1个(即位于第1、2n列的2阶子式)可能非零且其余子式恰为0,相应的代数余子式为4522(2)nDn故得2nabDba(12)(12)22(1)nnnD于是,得递推公式22222()nnDabD从而222224()nnDabD2212()nabD22()nab46三.小结与思考题2.行列式按某行(列)展开降阶方法求行列式.1.行列式的余子式与代数余子式的概念和计算方法.1122iiiiininDaAaAaA1,2,,in思考题100010001000000001nxxyxyxyxyDxyxyxy4710010000001nyxyxyDxxyxyxy思考题1解答10000000001yxxyxxyxyxy21121nnnnxDxDxDx48思考题2n设阶行列式12312001030100nnDn求第一行各元素的代数余子式之和11121?nAAA49思考题2解答第一行各元素的代数余子式之和可以表示成11121nAAA111112001030100n21!1njnj