14点的复合运动

工程力学主讲：谭宁副教授办公室：教1楼北305工程力学2研究物体相对于不同参考系的运动，分析物体相对于不同参考系运动之间的关系，可称为复杂运动或合成运动。本章分析点的合成运动。分析运动中某一瞬时点的速度合成和加速度合成的规律。工程力学3基本概念速度合成定理加速度合成定理本章小结作业题工程力学4车刀尖相对于机架作直线运动，但其工件表面作螺旋线运动。——基本概念工程力学5螺旋浆的端点相对于地面作空间曲线运动，但相对于直升机作圆周运动。——基本概念工程力学6车轮上的点P的运动，相对于地面作平面曲线，但相对于汽车作圆周运动。——基本概念工程力学7通常将固定在地球上的坐标系称为定参考系，简称定系。通常将固连在相对于地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系，简称动系。所研究的点“一点两系三运动”——基本概念动点动系定系注意:三个对象应分别属于三个物体.工程力学8动点相对动系的运动动系相对定系的运动刚体的运动点的运动动点：点P定系：地面动系：小车绝对运动：旋轮线相对运动：圆周运动牵连运动：小车的平动“一点两系三运动”——基本概念绝对运动相对运动牵连运动动点相对定系的运动工程力学9地面飞机螺旋桨上的点P相对运动：牵连运动：飞机的空间飞行定系：动系：绝对运动：动点：P绕螺旋桨轴线的圆周运动空间曲线运动“一点两系三运动”——基本概念工程力学10t瞬时t+t瞬时轮缘M点的绝对运动可看成是M点相对于汽车的运动和动系（汽车）的牵连运动的合成。而相对运动和牵连运动也可以看成是轮缘M点的绝对运动的分解。“一点两系三运动”——基本概念工程力学11z'x'y'M刚体在定系中运动，动系固结在刚体上。M1点——t瞬时动系上与动点重合的点，称为牵连点。动点M沿着刚体上的曲线运动。t瞬时所谓“牵连点”并不是一个确定的物理实点，它是某瞬时在动坐标系上与动点重合的那个几何位置点。“一点两系三运动”——基本概念M1zxyO工程力学12注意：(1)牵连点和动点是不同刚体上的两个点；(2)某瞬时在动坐标系上与动点重合的那个几何位置点，它是唯一的。(3)牵连点在不断变化着（因为动点在运动，不同瞬时有不同的牵连点）。牵连点“一点两系三运动”——基本概念工程力学13“一点两系三运动”——基本概念工程力学14“一点两系三运动”——基本概念工程力学15“一点两系三运动”——基本概念工程力学16动点的绝对运动、相对运动和牵连运动之间的关系也可以通过动点在定参考坐标系和动参考坐标系中的坐标变换得到。“一点两系三运动”——基本概念yxo以平面运动为例，设Oxy为定系，，为动系，M为动点，如图所示，M点绝对运动方程为)(),(tyytxxM点相对运动方程为)(),(tyytxx牵连运动是动系相对于定系的运动)(),(),(ttyytxxoooo工程力学17得到坐标变换“一点两系三运动”——基本概念M点绝对运动方程为)(),(tyytxxM点相对运动方程为)(),(tyytxx牵连运动是动系相对于定系的运动)(),(),(ttyytxxoooocossinsincosyxyyyxxxoo工程力学18牵连点相对定系的速度、加速度；ve,ae牵连点：在某瞬时与动点相重合的动系中的一点。动点相对定系的速度、加速度;va,aa动点相对动系的速度、加速度;vr,ar“一点两系三运动”——基本概念绝对速度、绝对加速度相对速度、相对加速度牵连速度、牵连加速度工程力学19•例1：“一点两系三运动”——基本概念工程力学20•例2：“一点两系三运动”——基本概念工程力学21•例3：“一点两系三运动”——基本概念从以上例子可以得出，如果动点和动系选择的恰当，则相对轨迹较为简单，反之则较复杂。因此，动点动系的选择是分析点的合成运动的关键之一。工程力学22机架凸轮顶杆的尖点A相对运动：牵连运动：A在y方向上的直线运动凸轮的平动定系：动系：绝对运动：动点：A绕O'点的圆周运动•例4：“一点两系三运动”——基本概念思考：如果动点取凸轮上的点A，该怎么分析？工程力学23O´x´y´z´---动参考系动点M的相对坐标:x´、y´、z´动坐标系的单位矢量:i´、j´、k´——速度合成定理r'rrO'MO'i'j'k'Oxyzz'y'x'Mr'kjirMzyxk'j'i'r''''zyxk'j'i'rrrO'Me'''zyx动点相对于定系的矢径动点相对于动系的矢径该瞬时牵连点相对于定系的矢径工程力学24由于该瞬时的牵连点是动系上的一个确定点，则x′,y′,z′相对于定系是定值。由于动系在运动，则i′,j′,k′相对于定系是变矢量。——速度合成定理O'i'j'k'Oxyzz'y'x'Mr'k'j'i'rrrO'e'''zyxdtdzdtdydtdxdtd''''''kjirvO'e工程力学25——速度合成定理O'i'j'k'Oxyzz'y'x'Mr'k'j'i'r''''zyx在动系中来看i´、j´、k´，显然它们是不变的，只有x′,y′,z′在随着时间变化。于是得到k'j'i'vrdtdzdtdydtdx'''工程力学26——速度合成定理O'i'j'k'Oxyzz'y'x'Mr'k'j'i'k'jirr'rvO'O'adtdzdtdydtdxzdtdydtdxdtddtddtddtd''''''''k'j'i'r''''zyxr'rrO'M在定系中来看，上式中的各个变量都在随着时间变化。工程力学27——速度合成定理k'j'i'k'jirr'rvO'O'adtdzdtdydtdxzdtdydtdxdtddtddtddtd''''''''dtdzdtdydtdxdtd''''''kjirvO'ek'j'i'vrdtdzdtdydtdx'''reavvv工程力学28eravvv绝对速度牵连速度相对速度此即为速度合成定理，即动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和。适用范围：各种运动——速度合成定理在t瞬时，有工程力学29点的速度合成定理是瞬时矢量式，每一速度包括大小‚方向两个元素，总共六个元素，已知任意四个元素，就能求出其余两个。——速度合成定理eravvv应用通常用几何法，即作速度平行四边形！工程力学30•解题步骤(1)选定动点、动参考系和定参考系。(2)分析三种运动和三种速度。(3)作出速度平行四边形。(4)利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。——速度合成定理工程力学31汽车以速度沿直线的道路行驶，雨滴以速度v2铅直下落，如图所示，试求雨滴相对于汽车的速度。——速度合成定理例1：工程力学32解：(1)建立两种坐标系定系建立在地面上，动系建立在汽车上。(2)运动分析动点：雨滴绝对运动：铅锤直线运动相对运动：平面曲线运动牵连运动：汽车的平动(3)速度分析vavevr212222vvvvvear21tanvvx´y´eravvv根据速度合成定理大小√？√方向√？√——速度合成定理工程力学33如图所示曲柄滑道机构，T字形杆BC部分处于水平位置，DE部分处于铅直位置并放在套筒A中。已知曲柄OA以匀角速度rad/s绕O轴转动，OA=r=10cm，试求当曲柄OA与水平线的夹角、30º、60º、90º时，T形杆的速度。020ω——速度合成定理例2：工程力学34解：1.运动分析动点：套筒A动系：T字形杆绝对运动：以O为圆心的圆周运动相对运动：沿DE的直线运动牵连运动：T形杆的水平平动2.速度分析根据速度合成定理，作出速度平行四边形得到vevavrcm/s2002010ωrvasinaevv00Tvcm/s10030Tvocm/s2.17360Tvocm/s20090Tvox´y´sinaeTvvv——速度合成定理工程力学35已知：O1A=O2B=100mm，O1O2=AB，杆O1A以等角速度ω=2rad/s绕轴O1转动。AB杆上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接，机构的各部件都在同一铅垂平面内。试求:当=60°时，CD杆的速度。——速度合成定理例3：工程力学36绝对运动：上下直线运动；相对运动：沿AB直线运动；牵连运动：铅垂平面内曲线平移x´y´解：1.运动分析动系：固连于AB杆。动点：CD上的C点；——速度合成定理工程力学372.速度分析ve=vA=O1A×=0.2m/s,由平行四边形法则求得：vCD=va=vecos=0.1m/s,方向如图中所示。ve垂直O1A；va=ve+vrvAvevavr根据速度合成定理大小？√？方向√√√vr方向沿BA；va方向铅垂向上。——速度合成定理工程力学38已知：直角弯杆OBC以匀角速度ω=0.5rad/s绕O轴转动，使套在其上的小环P沿固定直杆OA滑动；OB=0.1m,OB垂直BC。试求:当=60∘时小环P的速度。——速度合成定理例4：工程力学39解：1．运动分析绝对运动：沿OA固定直线；相对运动：沿BC杆直线；牵连运动：绕O定轴转动。y´x´动点：小环P；动系：固连于OBC；——速度合成定理工程力学402.速度分析由速度平行四边形解得小环P的速度.va=ve+vra30.173m/sevv此外，还可求得vr=2ve=0.2m/sy´x´vrveva根据速度合成定理式中va、ve、vr方向如图；ve=OP·=0.2×0.5=0.1m/s；于是式中只有va、vr二者大小未知。——速度合成定理工程力学41可用列写运动方程及对时间求导的方法解题（解析法）；也可进行运动分解，并用速度合成定理解题（几何法）。后者的特点是避免列写运动方程式及求导而直接求得速度，多用于求特定瞬时（位置）的速度。进行运动分解时，动点、动系的选择原则：(1)动点、动系应选在不同刚体上(2)动点应是一具体的点，其相对于动系的轨迹通常要已知。速度合成定理的几何表达方法是速度平行四边形，在平面问题中的解析表达式是两个投影方程，在平面问题中，速度合成定理能解两个未知数。——速度合成定理总结工程力学42O´x´y´z´---动参考系动点M的相对坐标:x´、y´、z´动坐标系的单位矢量:i´、j´、k´——加速度合成定理r'rrO'MO'i'j'k'Oxyzz'y'x'Mr'kjirMzyxk'j'i'r''''zyxk'j'i'rrrO'Me'''zyx动点相对于定系的矢径动点相对于动系的矢径该瞬时牵连点相对于定系的矢径现在，我们来研究点的加速度合成。工程力学43由于该瞬时的牵连点是动系上的一个确定点，则x′,y′,z′相对于定系是定值。由于动系在运动，则i′,j′,k′相对于定系是变矢量。——加速度合成定理O'i'j'k'Oxyzz'y'x'Mr'于是得到O'eeO'O'eeavavrrvdtddtddtdk'j'i'rrrO'e'''zyx此时i´、j´、k´相对于定系是常矢量！♣牵连运动为平动时工程力学44——加速度合成定理♣牵连运动为平动时的加速度合成定理O'i'j'k'Oxyzz'y'x'Mr'k'j'i'r''''zyx在动系中来看i´、j´、k´，显然它们是不变的，只有x′,y′,z′在随着时间变化。于是得到k'j'i'vrdtdzdtdydtdx'''k'j'i'va222222rrdtzddtyddtxddtd'''工程力学45——加速度合成定理♣牵连运动为平动时的加速度合成定理O'i'j'k'Oxyzz'y'x'Mr'k'j'i'vr'rvO'O'adtdzdtdydtdxdtddtd'''k'j'i'r''''zyxr'rrO'Mdtdaava)'''''''''''(dtddtdzdtddtdydtddtdxdtzddtyddtxdkjik'jia222222O'在定系中来看上式中