14状态方程

第十四章状态方程§14-1电路的状态、状态变量及状态方程一、状态和状态变量经典法分析一阶、二阶电路时，求响应除了要知道电路结构及参数和外加激励之外，还必须知道电路中电容电压，Cu和电感电流Ci的初始值。有了这些初始值才能确定积分常数，才能确定唯一解．．．，即电路在换路后任意时刻的情况。Cu及Li的初始值称为电路的初始状态．．。只要知道了一个已知电路在换路时的初始状态和换路后作用于电路的外加激励。就可以确定在换路后任何时刻的电路的响应。一般意义上的定义：一个电路在0tt时的状态．．，是指能完全描述在这一时刻电路性能的最小变量组（的值）。这个变量组中的每一个变量，称为状态变量。完全描述电路性能──如果给定0tt时这组变量的值和0tt时的外加激励，就能完全确定电路在0tt的任何时刻的任一响应。在电路分析中，这些所谓变量，就是各元件（支路）电流、电压（电荷、磁链）。最小是指这些变量组中每一个变量都是独立的，不可能用其它变量的线性组合来表示。相应的，电路中0tt时刻的其它任何一个电压、电流都可以用状态变量和激励的线性组合来表达。若一个电路中有几个状态变量)(,),(),(21txtxtxn，这几个状态变量就构成了一个数学上的矢量)(tX。（变量组）)(tX称为电路的状态矢量。)()()()(21txtxtxtXn一个电路可以选出多种不同的状态矢量，但其中最容易选取的是由电容电压)(tuC、电感电流)(tiL构成的状态矢量。结合以上定义和讨论可以看出，)(tuC及)(tiL确实满足状态变量的基本定义。所以，一般在电路中将各独立电容的)(tuC，各独立电感的)(tiL作为一组状态变量，有时也可以将)(tq、)(t作为一组状态变量（多用于非线性电路）。例：如图所示，已知某一时刻CLui,及)(te的值，选取一组状态变量，并将其余电压、电流表示为状态变量与激励)(te的线性组合。解：以LCiu、为状态变量，记为LCiuXCRuteu)(11)(1RuteiCRCRuu2CRuRi212LRiRu33LRii3LCLiRuu3LCCCiuRuteRi211])([1uR3uR2uR1uCuLiLiciR3iR2iR1R2R3R1Ce(t)L二、电路的状态方程和输出方程从关于电路初始值问题的讨论中知道，如果已知0tt时的状态和输入，就可以确定电路中任一电流、电压在这一时刻的响应值。也就是说，0tt时每一个可能的电路响应，都能用该时刻的状态变量和输入（激励）来表示。所以，如果我们确定了状态变量的时间特性（即与时间的函数关系），就能确定在给定输入下每一个响应的时间特性。──这就是电路的状态变量分析法的思想：先求得状态变量，再求其余响应。用状态变量分析法求解动态电路有两个步骤，需要建立与求解两组方程：1.关于状态变量与时间关系的状态方程．．．．我们以LCiu,为状态变量，建立将各LCui,用状态变量与激励表达的方程，其中：dtdiLudtduCiLLCC,。经整理后，可得一组将dtduC或dtdiL以状态变量和激励表示的方程———电路的状态方程组．．．．．。其中每一个方程中只含有一个状态变量的一阶微分。对于一个具有n个状态变量nxxx,,,21，m个激励mfff,,,21的电路，状态方程（组）的一般形式为：mmnnfbfbxaxaxax11112121111mmnnfbfbxaxaxax212122221212……mnmnnnnnnnfbfbxaxaxax112211矩阵形式为：mnmnmmnnnnnnnnfffbbbbbbxxxaaaaaaaaaxxx2112211112121222211121121简写为：BFAXX其中：X──状态向量（矢量）X——状态变量的一阶微分矢量F──输入向量（矢量）A、B——系数矩阵状态方程是一个一阶线性微分方程组，求解状态方程便可得到状态变量的时间函数形式。2.关于输出变量（响应）与状态变量及激励之间关系的输．出方程．．．：将输出变量以状态变量及激励的线性组合表示即为输出方程。若有k各输出变量，输出方程一般表示为:mmnnfdfdxcxcxcy111112121111mmnnfdfdxcxcxcy212122221212mkmknknkkkfdfdxcxcxcy112211mkmkkmmnknkknnkfffdddddddddxxxcccccccccyyy212122221112112121222211121121DFCXY其中：Y——输出向量（矢量）C、D——系数矩阵输出方程是一组代数方程，或者说是一组代数表达式。状态变量法是动态电路的一种重要方法。其特点是它阐明了电路的外加激励、状态变量、输出变量之间的关系，即电路运动的外因、内因和结果之间的关系。让我们不仅看到电路的输出变化过程，也清楚地了解到电路内部情况的变化过程，因此也称“内部描述法”。状态变量分析法的优点：1.对于含有多个独立储能元件的较复杂电路，只需建立、求解一组联立的一阶微分方程，比求解高阶微分方程相对容易。而且更适合于多输入、多输出电路的求解。2.状态方程具有标准矩阵形式，便于用计算机编程求解。3.可推广到对非线性网络的分析。§14-2状态方程的建立建立状态方程是状态变量分析法的关键步骤，有不少方法。本节介绍其中三种常用基本方法。一、电容节点──电感回路法（直观法）取Cu、Li为状态变量，则Ci、Lu可以用Cu、Li及输入来表达。而dtdiLuLL，dtduCiCC。含有Cu及Li的一阶微分。具体的表达方式（方程建立）上，可对于Li建立节点KCL方程，对于Lu建立KVL方程。换句话说，为了建立关于dtduC的方程，我们对接有电容的节点建立KCL方程，而为建立关于dtdiL的方程，对包含电感的回路来建立KVL方程。基本步骤：（1）选取电路中各独立电容的电压Cu、各独立电感的电流Li为电路的状态变量。注意：只有被确认是独立的电容电压或电感电流才能作为状态变量。独立——其中任何一个Cu或Li都不可能用其它电容电压或电感电流及电流激励的线性组合来表示。如果电路中有以下情况，就会存在非独立的电容与电压：1）与理想电压源并联的电容为非独立的；2）与理想电流源串联的电感为非独立的；3）若全部由电容及电压源构成的回路中有n个电容，只有1n个电容是独立的。4）若全部由电感支路及电流源构成的节点（或割集）上有m个电感，只有1m个独立电感是独立的。（2）对每个独立电容，选取它所连接的一个结点，建立KCL方程。方程中含有该电容的电流Ci，而dtduCiCC。若将此方程中所有非状态变量代换为状态变量和激励，再加以整理，便可得到一个关于dtduC的方程。注意：这个方程中只能含有一个独立电容电压的一阶微分，所以为避免麻烦，应该选择只接有一个电容的结点建立方程。（3）对每个独立电感，找出一个包含它的回路，建立KVL方程。回路中也应该只含有这一个电感。KVL方程中必然含有dtdiLuLL，将方程中所有非状态变量都代换为状态变量和激励，经整理可得到一个关于dtdiL的方程。最后，联立所得方程，或将其表示为矩阵形式，即得到电路的状态方程。要领：节点应选取只有一个电容的，回路应选只包含一个电感的。例1图如前例（1）选Cu、Li为状态变量LCiuX（2）建立节点KCL：LRRCiiii21LCCCiRuRuRtedtduC211)()(11)11(121teCRiCuCRCRdtduuLCCC（3）建立电感回路KVL3RCLuuuLCLiRudtdiL3LCLiLRuLi31状态方程uR3uR2uR1uCuLiLiciR3iR2iR1R2R3R1Ce(t)L∴)(01/11111321teCRiuLRLCCRCRiuLCLC输出方程：)(001001013321teiuRuuuLCRRR例2如图，列出电路的状态方程及输出方程),,(21sCCiii解：状态变量LCCiuux21三维状态矢量。iLic2ic1iSLRiuc1uRSuLuc2uRLRLC2LC1RSeS①②节点①LsCsCiRuedtduC111)(1LCsiii节点②LRCLiii2，即LCLCRuidtduC222对电感所在网孔列KVL：21CCLuudtdiL整理，可得：ssLCCLsLCCeCRiuuLLCCRCCRiuu001011110101122112121输出方程：sSLCSLSCeRiuRiii1111LCLRLCiuRiiiL221ssCssCsseRuRRuei1111∴sssLCCsLsSCCeRRiuuRRRiii1010011101012121二、电容割集－电感回路法（拓扑法）（观察法）电容割集－电感回路法是电容结点－电感回路法的一种改进方法。如果一个电容的两端结点上都连接有其它电容，则无论取其中那一个结点建立KCL方程，方程中都含有两个电容电压的一阶微分，要消去其中不要的那一个将十分麻烦。为避免出现这类问题，可以不对电容结点，而对电容割集建立KCL方程，使方程中只含有一个电容电压的一阶微分。其步骤：首先画电路拓扑图，选一个适当的“树”，然后分别建立包含单个独立电容的基本割集的KCL方程，包含单个独立电感的基本回路的KVL方程，再经代换、整理得到状态方程及输出方程。选树的原则：1）树支选择优先顺序为：独立电容支路、电压源支路、电阻支路。2）连支选择优先顺序为：独立电感支路、电流源支路、电阻支路。例写出状态方程：解：图为状态变量LCCiuuX21割集1LRCiii31即：LCsCCiRuuudtduC31211割集2432RRCiii即4322212RuuRuuudtduCCsCsCC回路方程sCLuuu1即sCLuudtdiL1∴R3R4LC1C2uC1uSuC2iL654321sLCCLCCuLCRCRCRiuuLCRCRCRCCRCRiuu11110010)11(1111242313242323113132121例列状态方程，状态变量54321iuiui作出拓扑图，以2、4为树支。1回路：211udtdiL，2割集：1522iidtduC3回路：433udtdiL4割集：5344iidtduC5回路：2455uudtdiLL5L1L3C4C2u4u2i5i3i1143255432155443221543210101