14章习题答案

第五篇近代物理基础求解近代物理问题的基本思路和方法工科大学物理范围内涉及的近代物理部分的内容面广而不深，要求定量计算的问题有限且较为基本.但由于近代物理展示的物理规律往往与经典物理格格不入，所以学习上和解题中遇到的困难往往表现为学习者在观念上的困惑和不解.明确以下几点，可能会对我们求解近代物理中的若干问题有所帮助.1.在什么情况下用近代物理的规律求解问题近代物理通常是指相对论和量子物理.前者揭示了运动物体的速度接近光速时所遵循的物理规律，后者显示了微观粒子的物理行为.按照对应原理，在极限条件下(低速、宏观)近代物理的一系列规律又能自然退化为经典规律.这说明两种理论并非完全不相容，只是适用对象和条件不同.(1)相对论判据(或非相对论近似条件)一般来说只有当运动物体的速度接近于光速时才有明显的相对论效应，因此通常把cv作为非相对论近似条件，对于微观粒子来说，当k0EE或0Epc时可用非相对论处理，两者接近时则必须用相对论规律，熟记常见粒子的静能数值有助于迅速判断，如电子静能0e0.51MeVE，质子静能0p937MeVE等.由于微观粒子静能值往往相差较大，对于动能相同的两种粒子来说，往往会出现一种粒子可用非相对论，而另一种粒子必须用相对论处理.(2)量子物理的适用范围由于微观粒子具有波粒二象性，大部分情况下只有用量子理论才能解释其行为，因此对原子、电子、质子等微观粒子必须用量子理论解释，而对分子系统来说，其中常温及高温下的气体可用经典理论，但对低温下的气体以及固体和液体则应用量子理论.2.对相对论中几个重要结论的思考在相对论中时间和空间联系在一起构成了一个统一体，它们均与运动有关.为什么相对论的一些重要结论常使人感到困惑呢？这主要是源于它的基本观念与人们的“常识”不符，但这里所说的“常识”均是人们在宏观低速物理环境中所感受的，而“常识”又往往成为我们接受相对论的障碍.在相对论的一系列结论中，同时性的相对性是一个关键性概念，相对论中一系列时空特征都与这一基本概念有关.在学习中有人会问：既然相对论告诉我们动尺缩短，那么，在两个作相对运动的惯性之中究竟哪个尺子缩短了？其实考虑同时的相对性，对于运动的尺，只有同时测量其两端才能得出其长度，对于静止的尺，则无须同时测量其两端，而不同惯性系中同时是相对的，由洛伦兹变换得出在不同惯性系中均为动尺缩短，在这里根本不存在“哪一根尺缩短了”，它是同时的相对性带来时空属性，而不是一种物质过程.对“动钟变慢”也可作同样的理解.至于质－速关系，则应注意质量并非物质本身，它是对物体惯性的量度，这种量度与惯性系的选择有关，质量变化了，并非物质本身的量发生变化，也非一种物质过程.总之只要认同相对论的两个基础———相对性原理和光速不变原理，就能得到与现代物理理论和实验相符合一系列重要结论，并用一种全新思维方式去认识它.当然，在低速)cv(的情况下，相对论力学趋同于牛顿力学，牛顿力学仍然是人们处理低速情况下物理问题的基础.3.如何实现微观粒子Ek和p之间的互求在微观粒子的各种实验中，能够直接测得的往往是粒子动能Ek或动量p，初学者往往先用相对论规律求出粒子的速度，与光速c比较后，再进行下一步计算，其实大可不必这样做.当Ek与E0或p与0Ec接近时，直接用相对论规律实现Ek与p之间的互求.即kk01(2)pEEEc或2k00[1[]1]pcEEE而当k0EE或0Epc时，直接用经典规律实现互求，即0k2pmE或2k02pEm以上操作避开了速度的求解，同时又能迅速判断用哪一种关系实现Eｋ和p之间互求，因而要简便得多.4.对量子物理中若干基本概念的认识近现代诸多实验表明，微观粒子的状态是量子化的，包括能量、动量，角动量以及空间取向等，量子化其实是自然界的本来面目，只是在经典条件下，无法觉察而已，而被人们认为它们是“连续”的罢了.同样大量实验表明微观粒子具有波粒二象性，但二象性绝非是一个经典粒子＋经典波的混合图像，因为两个图像在经典物理中是不相容的，前者在空间是局域的，有确定的轨道，后者在空间是广延的，非局域的，表现为时空周期性.这两种属性在微观粒子上同时具有又该如何理解呢？这只能用概率加以理解，微观粒子绝非经典粒子，我们不能同时确定其坐标和动量，其波动性体现为粒子在空间某个位置出现的概率上，或一个物理行为发生的概率上，实际上凡是在涉及原子过程的所有实验中，没有一个实验能够揭示原子过程发生的准确时间和位置，对于原子过程只能给出概率性的描述，因此微观粒子是一种概率波，既承认其粒子性又同时体现其波动性，这样微观粒子的波粒二象性就在概率论基础上被统一起来，认识到这一点对用波函数模的平方(即2ψ)来描述粒子空间概率分布的这种方法也就不难理解了.5.不确定关系与估算方法不确定关系式既表明了微观粒子的波粒二象性，同时又是对用经典方法描述微观粒子行为作出一种限制.利用不确定关系可直接对粒子坐标、动量或其他有关物理量不确定范围作出估计，其次也可以通过这些物理量的不确定范围对物理量本身的数量级进行估计，以上计算注重的是数量级，因而计算无需严格，例如经常认为pp、rr等，此外[]4hxph或是最基本的不确定关系式，由此还可演变出诸多不确定关系式，计算时也都只需用估算方法.由于近代物理的基本概念远远超出了经典物理的框架，因此学好近代物理，首先要在思维和观念上不受已在经典物理中形成的牢固概念和思维定势的约束，而用一种全新的思维方式来思考和求解近代物理问题.第十四章相对论14－1下列说法中(1)两个相互作用的粒子系统对某一惯性系满足动量守恒，对另一个惯性系来说，其动量不一定守恒；(2)在真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状态无关；(3)在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速率都相同.其中哪些说法是正确的？()(Ａ)只有(1)、(2)是正确的(Ｂ)只有(1)、(3)是正确的(Ｃ)只有(2)、(3)是正确的(Ｄ)三种说法都是正确的分析与解物理相对性原理和光速不变原理是相对论的基础.前者是理论基础，后者是实验基础.按照这两个原理，任何物理规律(含题述动量守恒定律)对某一惯性系成立，对另一惯性系也同样成立.而光在真空中的速度与光源频率和运动状态无关，从任何惯性系(相对光源静止还是运动)测得光速均为3×108m·s－1.迄今为止，还没有实验能推翻这一事实.由此可见，(2)(3)说法是正确的，故选(Ｃ).14－2按照相对论的时空观，判断下列叙述中正确的是()(Ａ)在一个惯性系中两个同时的事件，在另一惯性系中一定是同时事件(Ｂ)在一个惯性系中两个同时的事件，在另一惯性系中一定是不同时事件(Ｃ)在一个惯性系中两个同时又同地的事件，在另一惯性系中一定是同时同地事件(Ｄ)在一个惯性系中两个同时不同地的事件，在另一惯性系中只可能同时不同地(Ｅ)在一个惯性系中两个同时不同地事件，在另一惯性系中只可能同地不同时分析与解设在惯性系Ｓ中发生两个事件，其时间和空间间隔分别为Δt和Δx，按照洛伦兹坐标变换，在Ｓ′系中测得两事件时间和空间间隔分别为221txct'=v和2'1xtxv讨论上述两式，可对题述几种说法的正确性予以判断：说法(Ａ)(Ｂ)是不正确的，这是因为在一个惯性系(如Ｓ系)发生的同时(Δt＝0)事件，在另一个惯性系(如Ｓ′系)中是否同时有两种可能，这取决于那两个事件在Ｓ系中发生的地点是同地(Δx＝0)还是不同地(Δx≠0).说法(Ｄ)(Ｅ)也是不正确的，由上述两式可知：在Ｓ系发生两个同时(Δt＝0)不同地(Δx≠0)事件，在Ｓ′系中一定是既不同时(Δt′≠0)也不同地(Δx′≠0)，但是在Ｓ系中的两个同时同地事件，在Ｓ′系中一定是同时同地的，故只有说法(Ｃ)正确.有兴趣的读者，可对上述两式详加讨论，以增加对相对论时空观的深入理解.14－3有一细棒固定在Ｓ′系中，它与Ox′轴的夹角θ′＝60°，如果Ｓ′系以速度u沿Ox方向相对于Ｓ系运动，Ｓ系中观察者测得细棒与Ox轴的夹角()(Ａ)等于60°(Ｂ)大于60°(Ｃ)小于60°(Ｄ)当Ｓ′系沿Ox正方向运动时大于60°，而当Ｓ′系沿Ox负方向运动时小于60°分析与解按照相对论的长度收缩效应，静止于Ｓ′系的细棒在运动方向的分量(即Ox轴方向)相对Ｓ系观察者来说将会缩短，而在垂直于运动方向上的分量不变，因此Ｓ系中观察者测得细棒与Ox轴夹角将会大于60°，此结论与Ｓ′系相对Ｓ系沿Ox轴正向还是负向运动无关.由此可见应选(Ｃ).14－4一飞船的固有长度为L，相对于地面以速度v1作匀速直线运动，从飞船中的后端向飞船中的前端的一个靶子发射一颗相对于飞船的速度为v2的子弹.在飞船上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是()(c表示真空中光速)(Ａ)12Lv+v(Ｂ)21Lvv(Ｃ)2Lv(Ｄ)2111(/)Lcvv分析与解固有长度是指相对测量对象静止的观察者所测，则题中L、v2以及所求时间间隔均为同一参考系(此处指飞船)中的三个相关物理量，求解时与相对论的时空观无关.故选(Ｃ).讨论从地面测得的上述时间间隔为多少？建议读者自己求解.注意此处要用到相对论时空观方面的规律了.14－5设Ｓ′系以速率v＝0.60c相对于Ｓ系沿xx′轴运动，且在t＝t′＝0时，x＝x′＝0.(1)若有一事件，在Ｓ系中发生于t＝2.0×10－7ｓ，x＝50ｍ处，该事件在Ｓ′系中发生于何时刻？(2)如有另一事件发生于Ｓ系中t＝3.0×10－7ｓ，x＝10ｍ处，在Ｓ′系中测得这两个事件的时间间隔为多少？分析在相对论中，可用一组时空坐标(x，y，z，t)表示一个事件.因此，本题可直接利用洛伦兹变换把两事件从Ｓ系变换到Ｓ′系中.解(1)由洛伦兹变换可得Ｓ′系的观察者测得第一事件发生的时刻为112'7121.2510s1/txctc2vv(2)同理，第二个事件发生的时刻为222'7223.510s1/txctc2vv所以，在Ｓ′系中两事件的时间间隔为''721'2.2510sttt14－7一列火车长0.30ｋｍ(火车上观察者测得)，以100ｋｍ·ｈ－1的速度行驶，地面上观察者发现有两个闪电同时击中火车的前后两端.问火车上的观察者测得两闪电击中火车前后两端的时间间隔为多少？分析首先应确定参考系，如设地面为Ｓ系，火车为Ｓ′系，把两闪电击中火车前后端视为两个事件(即两组不同的时空坐标).地面观察者看到两闪电同时击中，即两闪电在Ｓ系中的时间间隔Δt＝t2－t1＝0.火车的长度是相对火车静止的观察者测得的长度(注：物体长度在不指明观察者的情况下，均指相对其静止参考系测得的长度)，即两事件在Ｓ′系中的空间间隔Δx′＝x′2－x′1＝0.30×103ｍ.Ｓ′系相对Ｓ系的速度即为火车速度(对初学者来说，完成上述基本分析是十分必要的).由洛伦兹变换可得两事件时间间隔之间的关系式为''''212122122-)()-1-/(ttcttcvx-xv(1)21212''212(-)()-1/ttxxcttc2vv(2)将已知条件代入式(1)可直接解得结果.也可利用式(2)求解，此时应注意，式中21xx为地面观察者测得两事件的空间间隔，即Ｓ系中测得的火车长度，而不是火车原长.根据相对论，运动物体(火车)有长度收缩效应，即''22121()1/xxc2x-xv.考虑这一关系方可利用式(2)求解.解1根据分析，由式(1)可得火车(Ｓ′系)上的观察者测得两闪电击中火车前后端的时间间隔为''''1421212-()9.2610sttcvx-x负号说明火车上的观察者测得闪电先击中车头x′2处.解2根据分析，把关系式''22121()1/xxc2x-xv代入式(2)亦可得与解1相同的结果.相比之下解1较简便，这是因为解1中直接利用了''21x-x＝0.30ｋｍ这一已知条件.14－11设在宇航飞船中的观察者测得脱离它而去的航天器相对它的速度为1.2×108ｍ·ｓ－1i.同时，航天器发射一枚空间火箭，航天器中的观察者测得此火箭相对它的速度为1.0×108ｍ·ｓ－