14第12章_模态分析及反应谱分析_李永双

第12章模态分析及反应谱分析经典物理学告诉我们，我们所在的物理世界是一个动态的世界，静止只是相对的，荷载作用过程及结构的响应本质是一个动态的过程。结构分析和设计所需要解决的威胁结构安全的主要因素——地震作用和风作用，也是典型的动力作用，因此对于结构进行一定水平动力分析就是十分必要的。目前结构分析和设计领域的理论发展水平，也为我们提供了若干的结构拟动力分析和精确动力分析方法，本章和下一章的主要任务就是基于这些理论方法，阐述其在SAP2000中的实现和使用细节。在结构动力分析中，结构动力响应的求解是基于结构中质量系统的动力平衡方程来完成的，基于经典物理定律，方程（12.1）给出了一个多自由度集中质量系统的动力平衡方程，它是一个关于时间的函数：)()()()(t=t+t+tSDIFFFF(12.1)其中，FI(t)是作用在节点质量上的惯性力向量；FD(t)是粘滞阻尼力向量或者能量耗散力向量；FS(t)是结构承担的内力向量；F(t)是外部施加的荷载向量。方程（12.1）是从经典物理学概念出发，对于结构系统，我们更为熟悉的是下面的二阶线性微分方程组：)t(=)t(+)t(+)t(aaaFuKuCuM(12.2)其中M是质量矩阵，C是一个粘滞阻尼矩阵，而K是结构单元系统的静力刚度矩阵，时间相关的向量)(tau、)(tau和)(tau分别是节点绝对位移、速度和加速度。对于地震作用，基于方程(12.2)中外部荷载F(t)等于零，可以写成：)t(-)t(-)t(-=)t(+)t(+)t(zgzygxguMuMuMKuuCuMyx(12.3)其中)t(,)t(,)t(zgygxguuu是自由场地面位移igt)(u的三个分量。结构动力分析的主要任务就是求解方程(12.2)，基于目前数值分析理论水平，它的求解并不是很复杂。对于结构分析最主要的一个方面地震作用分析，则可以将任务具体到对于动力平衡方程（12.3）的求解。有些不同的经典方法可以用于求解方程(12.3)，而且这些方法基本上都可以使用SAP2000程序完成，本章将对其逐一进行阐述。12.1模态分析模态分析也被称为振型叠加法动力分析，是线性结构系统地震分析中的最常用而且最有效的方法。它最主要的优势在于在计算一组正交向量之后，可以将大型整体平衡方程组缩减为相对数量较少的解耦的二阶微分方程，明显减少了用于数值求解这些方程的计算时间。使用SAP2000程序对于结构进行的模态分析将为我们提供结构基本性能参数，帮助我们对结构响应进行定性的判断，并提供相关结构概念设计需求。模态分析为结构相关静力分析提供相关结构性能，包括结构静力地震作用分析和静力风荷载作用分析；模态分析还是其它动力分析的基础，包括反应谱分析和时程分析。212.1.1模态分析的基本理论1.由动力方程转换为微分方程针对于地震作用的结构系统动力平衡方程(12.3)，可以按下列方式重写成一组Nd二阶微分方程：Jjjjtgtttt1)()()()()(fFKuuCuM(12.4)其中fj是J空间向量，该向量不随时间发生变化，gj(t)是第j个与时间相关的函数，一般情况下，在结构分析过程中考虑的动力荷载，包括地震作用、风荷载等都可以使用这两个量的乘积去表达。动力自由度的数量等于系统中集中节点质量的数量。如果需要，我们可以对方程（12.4）进行静力凝聚以消除无质量位移，它可以减少所要求解的动力平衡方程的数量，提高计算效率。例如比较典型的，在建筑结构分析过程中，我们经常会指定水平的刚性楼板，每个刚性楼板只有表现在三个方向的一个集中质量，对于自由度的减少是非常明显的，因此这种方法经常在建筑结构分析程序中应用。然而，静力凝聚明显增加了凝聚后刚度矩阵的密度和带宽。并且对于比较复杂的空间结构系统的动力求解，静力凝聚方法可能并不会很有效。基于以上两点，并考虑SAP2000所针对的结构体系类型大部分并非建筑结构，因此，目前SAP2000不使用静力凝聚。2.模态方程的生成求解方程(12.4)的基本数学方法是分离变量法。为了完成变量分离，可以假设解的表达形式为：)()(ttYu(12.5a)其中是一个Nd×N矩阵，该矩阵包含N个非时间函数的空间向量，而Y(t)是一个包含N个时间函数的向量。从方程(12.5a)可以导出：)()(ttYu(12.5b))()(ttYu(12.5c)在求解之前，要求空间函数满足下列质量和刚度正交性条件：TM=I，TK=Ω2，其中I为一个对角单位矩阵，Ω2是一个对角项为2n的对角矩阵。把方程(12.5a)至（12.5c）代入方程(12.4)，然后前乘T，产生以下N个矩阵方程：Jjjjtgttt1)()()()(pYΩYdYI2(12.6)其中pj=Tf并定义为荷载函数j的模态参与系数。d为阻尼矩阵，一般情况下并不一定是对角矩阵。为了解耦模态方程，将模态阻尼的对角项定义为nnnnd2，形成假设在振型之间无耦合的典型阻尼。其中ξn定义为第n振型中的阻尼与该振型的临界阻尼之比。于是方程（12.6）变为：3Jjjnj2nnnntgp=y(t)+(t)y2+(t)y1)((12.7)上面方程（12.7）是一个非耦合的典型线性结构系统的模态方程，而对于三维地震运动，模态方程可以写为：)(tup+)(tup+)(tup=y(t)+(t)y2+(t)ygznzgynygxnx2nnnn(12.8)其中三维模态参与系数或在此工况中的地震激励系数，由jMPΤνni定义，其中j是x、y或z，而n是振型数。3.模态方程一般求解方法上面（12.7）式给出了非耦合的典型线性结构系统的模态方程，对于这一典型模态方程有许多不同方法可以进行求解，比如我们比较熟悉的快速Fourier变换法或Duhamel积分数值计算等等。不过SAP2000使用了分段多项式方法进行模态方程的求解，这一方法是在较小时间增量内使用多项式近似出来的荷载精确解，是计算机程序对此方程进行数值求解的最经济和最精确的方法。分段多项式方法的另外一个优点是它没有稳定性问题，也不会引入数值阻尼。因为多数地震地面加速度在0.005s间隔内被定义为线性的，所以对于所有频率的该类型荷载而言，此方法是准确的。SAP2000程序使用了一种非常简单但又很强大的递归关系，使得多项式模拟精确解的方法计算效率有了很大的提高。由于此精确分段多项式技术方法速度快，因此它也可以用来以很少的计算时间建立精确地震反应谱。应用这一递归关系的分段多项式求解技术对于任意荷载、瞬时荷载、动力荷载的初始条件都是十分有效的，因此也可以把这种求解法用于任意周期荷载。另外对于模态方程的求解，还需要指出模态截取的问题，在SAP2000模态分析工况定义时，需要我们确定模态分析过程中最大模态数目。由于地震运动只激励结构的较低频率，所以，基本荷载数据不包含超过50Hz的信息。因此，忽略较高频率和系统振型通常不会引入误差。这也是我们在工程分析和设计中一直在使用的方法。12.1.2SAP2000模态分析中质量源定义从前面的论述中可以看到，结构动力分析是基于集中节点质量的动力响应和基本平衡方程的，因此精确描述结构系统质量分布就成为结构动力分析的基础。结构质量首先包含构件单元自身质量在节点的集中，但不仅限于此，比如我们比较熟悉的填充墙，由于并非主要抗侧力构件，一般在计算模型中并不会输入，但是在结构动力分析中填充墙质量却是绝对不能够忽略的。这时我们就需要将这部分质量以另一种方式进行考虑，这样此类问题就可以使用质量源的定义来完成。质量源是SAP2000中一个非常重要的概念，它定义了结构动力分析所需要考虑的结构质量的计算方式。它把程序中结构的质量和自重这两个概念加以清晰的区分并建立相互间可以进行多重定义的联系。在中国规范中，结构动力分析以及结构地震作用计算基于建筑的重力荷载代表值。重力荷载代表值实际上给出的是一个质量计算方式，定义了求解地震作用时结构质量的计算方法，它同样可以并且需要通过质量源的定义实现。因此在使用中国规范进行结构分析和设计时需要特别注意质量源的概念。1.SAP2000中的质量和重量4在SAP2000中结构构件自身的质量和重量计算分别基于材料定义中密度和重度两个参数。默认情况下，SAP2000自动计算所有构件的重量，如图12-1的定义静载工况名对话框所示。在定义静载工况名对话框中DEAD类型荷载为结构恒荷载，自重乘数将一定比例的结构自重作为DEAD工况的荷载施加在结构上。当自重乘数定义为1.0（默认值）时，SAP2000将全部自重转换为DEAD工况的荷载。当自重乘数定义为0时，结构将不计算结构自重产生的恒荷载。将自重乘数定义为小于1的正数，表示将自重的一部分添加到DEAD工况的荷载中。图12-1静荷载工况定义对话框SAP2000中的质量可以由几个方面组成。它包括了结构构件的质量这一基本的参量（它是基于结构构件材料的密度信息，并且与结构构件自重相对应），还包括荷载通过重力加速度关系转化的质量，以及通过点、线或面指定的附加质量信息。前面所谈到的填充墙质量就可以通过由其自重产生施加在结构上荷载转化为质量，其中使用的重力加速度值是程序默认的9.81m/s2，这一参量是不能被修改的。附加质量与结构自身质量不同，它仅增加结构质量，不产生自重而增加重力荷载，因此对结构的静力分析不会产生影响。由于结构动力分析的需求，在SAP2000中，可以根据不同方式定义不同的质量信息。2.质量源的定义在结构动力分析之前，必须要先定义质量源参数。SAP2000给出了质量源的三种定义方式。定义质量源时，需要点击定义质量源命令，弹出定义质量源对话框（图12-2）。5图12-2质量源定义对话框■来自对象和附加质量这是默认的质量源选项。采用这种方法时，所有外加的荷载不会转换为结构质量。此时，结构的质量由结构的构件体积乘以构件材料的密度（材料属性数据对话框中的密度一项）产生。利用这一选项，不能直接满足中国规范要求的重力荷载代表值要求。■来自荷载此方法定义的质量来源于荷载，可以在此处定义抗震规范的重力荷载代表值组合方式，然后将其按比例转化为质量信息。按抗震规范第5.1.3条的规定，自重、附加恒荷载的系数为1.0，活荷载的系数是0.5。结构的质量等于组合后求得的荷载除以重力加速度g。注意，此方法的概念是将荷载转化为质量。所以它的准确度是基于参与荷载的准确度，如果施加的荷载有误，则通过这种方法求得的结构质量也是错误的。■来自对象,附加质量以及荷载此方法计算的质量是按第一、二种方法求得的质量之和。在实际工程中采用此方法时，为了构建中国规范要求的重力荷载代表值，在定义荷载的质量乘数一栏中一般只需要定义可变荷载的质量乘数，质量乘数值为抗震规范表5.1.3中的组合系数，而不应包括恒荷载。如果用户使用此方法时在定义荷载的质量乘数一栏指定了恒荷载，结构自身的质量将被计算两遍而出现错误。12.1.3特征向量法和Ritz向量法前面我们所讨论的模态分析方法是非耦合线性结构或已经解耦的线性结构模态分析的基本方法，因此对于耦合线性结构，必须先要对结构采用适当的方法进行解耦。使用适当的方法对结构模态方程进行解耦也是动力分析重要的一个部分，在早期地震工程学中，动力分析的Rayleigh-Ritz方法广泛地用于计算近似解。随着高速计算机的发展，精确特征向量取代了Ritz向量并成为地震分析基础。6现在SAP2000版本中除了提供精确的特征向量法分析外，还提供了与荷载相关的Ritz向量（LDR）分析法，LDR向量能用于线性和非线性结构的动力分析,与精确特征向量法相比，新的修正Ritz方法用更少的计算工作量可产生更精确的结果。除此以外，Ritz向量法自动包含了静态凝聚数字技术、Guyuan消减和对于较高振型截取的静态修正等优点。下面我们将从经典模态方程出发，简单阐述一下两种模态分析方法的基本理论。1.特征向量法为了解耦（12.3）式的动力平衡方程，需要计算方程特征