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1二次根式知识点归纳及典型例题1.二次根式定义：形如（a≥0）的式子，叫做二次根式.2.二次根式的性质：①≥0(a≥0),这是因为(a≥0)表示a的算术平方根，根据算术平方根的意义，当a0时，0，当a=0时，=0.∴≥0.利用这一性质，可以解决下面问题：若，则x=－2，y=2.②()2=a(a≥0)，在探究这一性质时，教科书所采用的方法是不完全归纳法，而根据算术平方根的意义有：如果x2=a(x≥0)，则x=，所以代入上式得()2=a．③=a(a≥0)，根据算术平方根的意义该性质的推导过程应是：因为当a≥0时，a2的算术平方根是a,所以.3.代数式：用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示的数的字母连接起来的式子，叫代数式.4.利用二次根式性质化简：利用=a(a≥0)化简某些代数式时，一般应将被开方数化为完全平方式，如化简(x－1)=.典例讲解例1、填空题：（1）式子中x的取值范围是______________.（2）当x满足条件______________时，式子有意义.（3）当x=__________时，有最小值，最小值是_________.2（4）如果是正整数，那么x能取的最小自然数是________.答案：（1）x－2（2）x≥0且x≠1（3）－25；9（4）6例2、选择题：（1）化简的值为（）A.4B.－4C.±4D.16（2）下列各组数中，互为相反数的是（）A.－2与B.C.－2和D.2和（3）若x≥0，那么等于（）A.xB.－xC.－2xD.2x（4）当a≥1，则=（）A.2a－1B.1－2aC.－1D.1（5）在实数范围内分解因式：x2－3=（）A.(x＋3)(x－3)B.(x＋)(x－)C.(x＋)(x－)D.(x＋9)(x－9)答案：（1）A（2）A（3）B（4）A（5）C例3、用带有根号的式子表示：（1）已知一个正方体的表面积是S.求它的棱长.解：设它的棱长为x，则所以,故它的棱长为．（2）一个圆的半径是10cm，是它面积2倍的正方形的边长为多少？解：设这个正方形的边长为xcm.则所以．正方形的边长为㎝．3例4、计算：(1)(2)(3)(4)解：(1)=(2)=63(3)=3＋2=5(4)=例5、已知|x＋y－7|＋，求x2＋y2的值.解：由已知得：∴所以，原式=(x＋y)2－2xy=72－2×12=25．例6、已知实数a满足,求a－20082的值.解：因为所以a≥2009，所以2008－a0，所以原式可化为：，所以，所以a－2009=20082，所以a－20082=2009．1.二次根式的乘法：①法则，=(a≥0，b≥0)；②利用这一法则，可以求出某些特殊的二次根式的值，如：15，7；③这一法则的探究我们采用的方法是不完全归纳法.42.积的算术平方根的性质：①性质，与二次根式的乘法法则相比较互逆；②利用这一性质和二次根式的乘法法则，可以化简二次根式，如=3a2b，=；③性质应用：在化简二次根式时，通常要结合二次根式的性质，因此方法上应注意将被开方数进行因数分解或直接开算术平方根的原则是将开得尽方的因数分解出来.化简实质上是将根号内完全平方的因数(式)移到根号外.典例讲解例1、填空题:（1）化简：_______；（2）计算：_______；（3）计算：=________.答案：（1）；（2）；（3）6例2、把下列各式中根号外的因式移到根号内：（1）;（2）解：（1）;（2）=－(－a).例3、计算：(1)(2)(3)(4)5解：(1)==(2)==x(x＋y)=x2＋xy(3)===(4)===2xy例4、比较下列各组中两个数的大小.(1)解：∵2，，而4445∴，∴．(2)解：∵，，而32，∴．例5、观察下列各式及其验证过程:验证：验证：3=.6(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证;(2)针对上述各式反映的规律，写出n(n为任意自然数，且n≥2)表示的等式,并证明.解：(1)验证：(2)反映的规律为：证明：n=.1.二次根式的除法:①法则:；②法则中规定b0的理由是分母不为零；③作用是化去分母中的根号.2.商的算术平方根：①性质（≥0，＞0）；②语言叙述：算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；③作用是化去根号下的分母.3.最简二次根式：①最简二次根式必须满足两个条件是被开方数不含分母和被开方数中不含开得尽的因数或因式；②二次根式的乘除法运算，最后的结果一定要是最简二次根式或有理式.典例讲解例1、化简下列二次根式7(1)；(2)；(3)答案：（1）；（2）；(3)例2、选择题1.下列各式中正确的是（）A.B.C.D.答案：B2.在化简时，甲、乙、丙三位同学的解法如下：甲：；乙：；丙：；正确的是（）A.甲B.乙C.丙D.甲、乙、丙均正确。答案：D3.在下列根式、、、中，最简二次根式的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个。答案：C例3、计算：(1)；(2)；(3)(4)；(5).解：(1)(2)8(3)(4)(5)例4、已知，，求与的近似值.解：∵，，∴，．1、二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2、二次根式的加减法运算步骤：（1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号．（2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简．（3）被开方数相同的二次根式进行合并．3、二次根式的加、减、乘、除、混合运算：①二次根式的加、减、乘、除、混合运算与实数的加、减、乘、除、混合运算一样，先算乘除，后算加减，如果含有括号，就先算括号里的．②如果二次根式中出现了形如多项式相乘的算式，则乘法公式都能适用．4、二次根式的运算可以类比实数的运算，实数的各运算律都适合于二次根式的运算，所以在二次根式运算中要充分运用实数的运算律，使运算更为简单．典例讲解例1、填空题91、计算：（1）=_____．（2）=________．答案：（1）（2）2、若三角形的两边长分别为和，其周长为（）cm，则第三边长为__________．答案：例2、选择题（1）下列各式中运算正确的是（）A．B．C．D．答案：A（2）已知、，则a、b的关系为（）A．a=bB．a＋|b|=0C．ab=1D．ab=－1答案：D例3、计算（1）（2）（）－（）（3）（）（）（4）解：（1）（2）（）－（）10（3）（）（）（4）＝=例4、已知求的值．解：原式＝，∵，∴，∴．∴原式＝．例5、利用乘法公式计算：,……（n为正整数）从以上计算中你发现了什么规律？请利用这一规律计算：答案：2007