高等数学课件——重积分

第十章重积分第一节二重积分的概念与性质一、问题的提出二、二重积分的概念三、二重积分的性质柱体体积=？１．曲顶柱体的体积一、问题的提出xzyo步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，xzyoD),(yxfzi),(ii先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法．设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，平面薄片的质量为多少？２．求平面薄片的质量i),(ii将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiMxyo定义设),(yxf是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域1，,2，n，其中i表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个i上任取一点),(ii，作乘积),(iifi，),,2,1(ni，并作和iiniif),(1，二、二重积分的概念积分区域如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，且与D的分法和各小闭区域中点的取法无关，则称此极限为函数),(yxf在闭区域D上的二重积分，记为Ddyxf),(.即Ddyxf),(iiniif),(lim10.积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素(1)在二重积分的定义中,对闭区域的划分是任意的,每个小区域中点的选取也是任意的.(2)当),(yxf在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd故二重积分可写为xyoD则面积元素为性质１当为常数时，k.),(),(DDdyxfkdyxkf性质２Ddyxgyxf)],(),([.),(),(DDdyxgdyxf（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质３对区域具有可加性.),(),(),(21DDDdyxfdyxfdyxf性质４若为D的面积，.1DDdd性质５若在D上),,(),(yxgyxf.),(),(DDdyxgdyxf特殊地.),(),(DDdyxfdyxf)(21DDD则有设M、m分别是),(yxf在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则性质６设函数),(yxf在闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点),(使得性质７（二重积分中值定理）DMdyxfm),(),(),(fdyxfD（二重积分估值不等式）例1不作计算，估计deIDyx)(22的值，其中D是椭圆闭区域：12222byax)0(ab.在D上2220ayx,,12220ayxeee由性质6知,222)(aDyxede解deDyx)(22ab.2aeab区域D的面积,ab例2估计DxyyxdI16222的值，其中D：20,10yx.区域面积2,,16)(1),(2yxyxf在D上),(yxf的最大值)0(41yxM),(yxf的最小值5143122m)2,1(yx故4252I.5.04.0I解例3判断122)ln(yxrdxdyyx的符号.当1yxr时,,1)(0222yxyx故0)ln(22yx;又当1yx时,,0)ln(22yx于是0)ln(122yxrdxdyyx.解例4比较积分Ddyx)ln(与Ddyx2)][ln(的大小,其中D是三角形闭区域,三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).解三角形斜边方程2yx在D内有eyx21,故01)ln(yx,于是2)ln()ln(yxyx,因此Ddyx)ln(Ddyx2)][ln(.oxy121D一、填空题:1、当函数),(yxf在闭区域D上______________时,则其在D上的二重积分必定存在.2、二重积分Ddyxf),(的几何意义是___________________________________.3、若),(yxf在有界闭区域D上可积,且21DDD,当0),(yxf时,则1),(Ddyxf__________2),(Ddyxf;当0),(yxf时,则1),(Ddyxf__________2),(Ddyxf.练习题4、Ddyx)sin(22__________,其中是圆域2224yx的面积,16.二、利用二重积分定义证明:DDdyxfkdyxkf),(),(.(其中k为常数)三、比较下列积分的大小:1、DDdyxdyx322)()(与,其中D是由圆2)1()2(22yx所围成.2、dyxdyxD2)][ln()ln(与,其中D是矩形闭区域:10,53yx.四、估计积分DdyxI)94(22的值,其中D是圆形区域:422yx.一、1、连续；2、以),(yxfz为曲顶,以D为底的曲顶柱体体积的代数和；3、,；4、.三、1、DDdyxdyx32)()(；2、dyxdyxD2)][ln()ln(.四、100)94(3622dyx.练习题答案第二节二重积分的计算一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分1.设积分区域D可用不等式组表示为≤≤≤bxaxyx),()(21≤一、直角坐标系中的累次积分法过x轴上的x0与x轴垂直的平面与曲顶柱体的交面是一个以区间[1(x0),2(x0)]为底边、以曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形，其面积可表示为2010()00()()(,).xxAxfxydy)()(21.d),()(xxyyxfxA将A(x)代入上式，则曲顶柱体的体积.dd),()()(21baxxxyyxfV于是，二重积分baxxDxyyxfyxf.dd),(d),()()(21将x0换为x，得：公式称为先积y(也称内积分对y)后积x(也称外积分对x)的累次积分公式.它通常也可写成baxxDyyxfxyxf)()(21d),(dd),(2.设积分区域D可用不等式组表示为如右图，则Ddcyyxyxfyyxf)()(21.d),(dd),(≤≤≤≤，，dycyxy)()(21首先在xy平面上画出所围成的区域D.若是先积y后积x时，得投影区间[a,b]，则把区域D投影到x轴上，在[a,b]上任意确定一个x，这时a就是对x积分(外积分)的下限，b就是对x积分(外积分)的上限；过x画一条与y轴平行的直线，假定它与区域D的边界曲线(x=a,x=b可以除外)的交点总是不超过两个(称这种区域为凸域).把二重积分化为累次积分，其上下限的定法可用如下直观方法确定：且与边界曲线交点纵坐标分别为y=1(x)和y=2(x)，如果2(x)≥1(x)，那么1(x)就对y积分(内积分)的下限，2(x)就是对y积分(内积分)的上限.类似地，先积x(内积分)后积y(外积分)时的定限方法如右图所示.如果区域不属于凸域，把D分成若干个小区域，使每个小区域都属于凸域，那么D上的二重积分就是这些小区域上的二重积分的和.例1试将二重积分Dyxf化为d),(两种不同次序的累次积分，其中D是由x=a,x=b,y=c,y=d(ab,cd)所围成的矩形区域.解画出积分区域D如图.如果先积y后积x，则有Dbadcyyxfxyxf.d),(dd),(如果先积x后积y，则可得Ddcbaxyxfyyxf.d),(dd),(例2试将化为两种不同次序的累次积分，Dyxfd),(其中D是由y=x，y=2x和x轴所围成的区域.解首先画出积分区域D如图，并求出边界曲线的交点(1,1)、(0,0)及(2,0).Dyxfd),(则1d),(Dyxf2120,d),(dxyyxfx2d),(Dyxf100d),(dxyyxfx如果先积x后积y，则为.d),(dd),(102Dyyxyxfyyxf其中D是抛物线y2=x与直线y=x2所围成的区域.例3计算二重积分,dDxy解画出积分区域D如图，并求出边界曲线的交点(1,1)及(4,2)，由图可见，先积x(内积分)后积y(外积分)较为简便.Dxyd2212ddyyxxyy.855由定限示意图有2122d22yyxyy=2152d])2([21yyyy2162346234421yyyy例4计算,de2Dy其中D是由直线y=x,y=1与y轴所围成.解画出积分区域D，作定限示意图，并求出边界曲线的交点(1,1),(0,0)及(0,1)，则x=yDOx1y(1,1)Dyde2101022e21deyyyy).e1(211100ded2yyxy100d][e2yxyy在极坐标系中，我们可用=常数和r=常数的两族曲线，把D分割成许多子域，于是图中所示的子域的面积近似等于以rd为长，dr为宽的矩形面积，因此在极坐标系中的面积元素可记为,dddrr二、极坐标系中的累次积分法于是二重积分的极坐标形式为DDrrrrfyxf.dd)sin,cos(d),(sincosryrx再通过变换且边界方程为r=r()，如图，积分限的确定，分两种情形来考虑:1)如果原点在积分域D内，则二重积分的累次积分为Drdrdrrf)sin,cos(Drrrrfdd)sin,cos(,d]d)sin,cos([20)(0rrrrrf或写为dd)sin,cos(rrrrfD20)(0.d)sin,cos(drrrrrfr=r()xO,分别是对积分(外积分)的下限和上限，则从原点作两条射线=和=(≤)2)如果坐标原点不在积分域D内部，(如图)夹紧域D.在与之间作任一条射线与积分域D的边界交两点，它们的极径分别为r=r1()，r=r2()，假定r1()≤r2()，那么r1()与r2()分别是对r积分(内积分)下限与上限，即Drryfdd)sin,cos(.d)sin,cos(d)()(21rrrrrrf例5把Dyxfd),(化为极坐标系中的累次积分，其中D是由圆x2+y2=2Ry所围成的区域.并把D的边界曲线x2+y2=2Ry化为极坐标方程，作射线=0与=夹紧域D.解在极坐标系中画出区域D如图，即为r=2Rsin与域边界交两点r1=0，r2=2Rsin，在[0,]中任作射线Dr=2RsinOx得Dyxfd),(.d)sin,cos(d0sin20rrrrfR.dd)sin,cos(rrrrfD并把D的边界曲线化为极坐标方程，即为例6在极坐标系中，计算二重积分，Dyxd)(22D是由x2+y2=R12和x2+y