二面角的练习含答案

学大教育科技（北京）有限公司XueDaEducationTechnology（Beijing）Ltd.-1-二面角复习【基础训练】新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆（1）正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小为____；（2）将∠A为60°的棱形ABCD沿对角线BD折叠，使A、C的距离等于BD，则二面角A-BD-C的余弦值是______；（3）正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC所成的为30°，则二面角C1—BD1—B1的大小为______；（4）从点P出发引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B-PA-C的余弦值是______；（5）二面角α-l-β的平面角为120°，A、B∈l，ACα，BDβ，AC⊥l，BD⊥l，若AB=AC=BD=1，则CD的长______；（6）ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，则面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小为______。【例题选讲】：例1.空间三条射线CA、CP、CB，∠PCA=∠PCB=600，∠ACB=900，求二面角B-PC-A的大小。例2.如图：Rt∠ABC中，斜边AB在平面α内，Cα,AC、BC与α所成角分别为450和300，求平面ABC与α所成角。例3.如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。DαCBAHPBαCAEFDPFDCAEB学大教育科技（北京）有限公司XueDaEducationTechnology（Beijing）Ltd.-2-例4.正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长均为a，D为CC1的中点，过A、B1、D作截面，求此截面与底面A1B1C1所成角。例5.如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。①求BD1和底面ABCD所成的角；②求异面直线BD1和AD所成的角；③求二面角C1—BD1—B1的大小。例6矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．BACA1B1C1DD1C1A1B1HGDCAB学大教育科技（北京）有限公司XueDaEducationTechnology（Beijing）Ltd.-3-【巩固练习】新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆1.如图1—122，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100米后升高多少米？2．已知：如图1—126，二面角α—AB—β为30°，P∈α，P到平面β的距离为10cm．求P到AB的距离．3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．4.如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值．学大教育科技（北京）有限公司XueDaEducationTechnology（Beijing）Ltd.-4-5.已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．6．如图，正方体AC1中，已知O为AC与BD的交点，M为DD1的中点。（1）求异面直线B1O与AM所成角的大小。（2）求二面角B1—MA—C的正切值。（14分）7．在正方体AC1中，E为BC中点（1）求证：BD1∥平面C1DE；（2）在棱CC1上求一点P，使平面A1B1P⊥平面C1DE；（3）求二面角B—C1D—E的余弦值。（14分）BACA1B1C1D学大教育科技（北京）有限公司XueDaEducationTechnology（Beijing）Ltd.-5-【参考答案】新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆（答：60）（答：13）（答：6arcsin3）（答：13）（答：2）（答：3arctan2）解：过PC上的点D分别作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连EF，∴∠EDF为二面角B-PC-A的平面角，设CD=a，∵∠PCA=∠PCB=600，∴CE=CF=2a，DE=DF=a3，又∵∠ACB=900，∴EF=22a，∴∠EDF=31328332222aaaa，解：过点C作CD⊥α于D，连AD、BD，∴∠DAC和∠CBD分别为AC、BC与α所成角，即∠DAC=450，∠CBD=300，过点D作DH⊥AB于H，连CH，∴CH⊥AB，即∠CHD为平面ABC与α所成角，设CD=a，∴AC=a2，BC=2a，AB=a6，CH=a332，∠CHD=600，即为平面ABC与α所成的角。（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线……）（①；②；③）arcsinarcsin346063o这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后的“变”与“不变”．如果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA，OE与BD的垂直关系不变．但OA与OE此时变成相交两线并确定一平面，此平面必与棱垂直．由特征（2）可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角．另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了可能．在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，PBαCAEFD学大教育科技（北京）有限公司XueDaEducationTechnology（Beijing）Ltd.-6-解：已知CD=100米，设DH垂直于过BC的水平平面，垂足为H，线段DH的长度就是所求的高度．在平面DBC内，过点D作DG⊥BC，垂足是G，连结GH．∵DH⊥平面BCH，DG⊥BC，∴GH⊥BC．因此，∠DGH就是坡面DGC和水平平面BCH所成的二面角的平面角，∠DGH＝60°，由此得：≈43.3（米）．答：沿直道前进100米，升高约43.3米．注：在解题中要特别注意书写规范．如：∵DG⊥BC，GH⊥BC，∴∠DGH是坡面DGC和水平面BCH所成二面角的平面角．解：在β内作点P的射影O，过点P作PQ⊥AB于Q，连结OQ，根据三垂线定理，可得OQ⊥AB．∴∠PQO为二面角α—AB—β的平面角，即∠PQO＝3O°．∵PO＝10cm，∴PQ＝20cm．即P到AB的距离为20cm．分析：在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中，没有出现二面角的棱，我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，则这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角．略解：如图10．在面BB1CC1内，作EH⊥B1C1于H，连结HA1，显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1．延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱．在平面A1B1C1D1内，作HK⊥GB1于K，连EK，则∠HKE为所求二面角的平面角．在平面A1B1C1D1内，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH．又在Rt△EKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值学大教育科技（北京）有限公司XueDaEducationTechnology（Beijing）Ltd.-7-分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线．解：因为AB∥CD，CD平面CPD，AB平面CPD．所以AB∥平面CPD．又P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．所以二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角．因为AB∥平面CPD，AB平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以AB∥l．过P作PE⊥AB，PE⊥CD．因为l∥AB∥CD，因此PE⊥l，PF⊥l，所以∠EPF是二面角B-l-C的平面角．因为PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，因为E，F分别是AB，CD的中点，所以EF=BC=a．在△EFP中，19．（1）AMOBMAOOBOBMOMODBMBaMBaMOaOBaACOBACBO11122121111,23,23,26,,,:面则设正方体的棱长为方法一方法二：取AD中点N，连结A1N，则A1N是B1O在侧面ADD1A1上的射影.易证AM⊥A1N学大教育科技（北京）有限公司XueDaEducationTechnology（Beijing）Ltd.-8-∴AM⊥B1O（三垂线定理）（2）连结MB1，AB1，MC，过O作OH⊥AM于H点，连结B1H，∵B1O平面MAC，∴∠B1HO就是所求二面角B1—MA—C的平面角.5tan,1030,211HOOBHOBBHORtHOMOACAMHO中在20．证ECPBCCPCCPPCCECPBBECBABBCCECBBCCBADECBDDECEFDECBDBDEFFCDDC11111111111111111111111111,,.,,)2(.//,,,//,)1(的中点时为当事实上的中点为此时点即可于交作故保要过平面面面面面则于交连即为所求由余弦定理中在的平面角即为二面角则连结则连结平面平面平面从而322cos:2126,23,.,,,,,,)3(.,2222111111111111EFBBEBCCFBFCFCEEFBEFEDCBEFBDCEFDCBFBFECEDBCBDBCBDDECPBAPBAEC