传送带上的牛顿第二定律的应用

-1-传送带问题类析一、水平传送带上的力与运动情况分析1水平传送带被广泛地应用于机场和火车站，用于对旅客的行李进行安全检查。如图所示为一水平传送带装置示意图，绷紧的传送带AB始终保持v=1m/s的恒定速率运行。一质量为m=4kg的行李无初速度地放在A处，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动，随后行李又以与传送带相等的速率做匀速直线运动。设行李与传送带间的动摩擦因数μ=0.1，AB间的距离=2m，g取10m/s2。（1）求行李刚开始运动时所受的滑动摩擦力大小与加速度大小；（2）求行李做匀加速直线运动的时间；（3）如果提高传送带的运行速率，行李就能被较快地传送到B处。求行李从A处传送到B处的最短时间和传送带对应的最小运行速率。解析：水平传送带问题研究时，注意物体先在皮带的带动下做匀加速运动，当物体的速度增到与传送带速度相等时，与皮带一起做匀速运动，要想传送时间最短，需使物体一直从A处匀加速到B处。（1）行李刚开始运动时所受的滑动摩擦力F=μmg以题给数据代入，得F=4N由牛顿第二定律，得F=ma代入数值，得a=1m/s2（2）设行李做匀加速直线运动的时间为t，行李加速运动的末速度为v=1m/s，则v=at代入数据，得t=1s。（3）行李从A处匀加速运动到B处时，传送时间最短，则代入数据，得tmin=2s。传送带对应的最小运行速率vmin=atmin代入数据，解得vmin=2m/s2如图5所示为车站使用的水平传送带的模型，它的水平传送带的长度为，传送带的皮带轮的半径为，传送带的上部距地面的高度为，现有一个旅行包（视为质点）以的初速度水平地滑上水平传送带．已知旅行包与皮带之间的动摩擦因数为，。试讨论下列问题：（1）若传送带静止，旅行包滑到B端时，人若没有及时取下，旅行包将从B端滑落，则包的落地点距B端的水平距离为多少？-2-（2）设皮带轮顺时针匀速转动，并设水平传送带长度仍为，旅行包滑上传送带的初速度恒为。当皮带的角速度值在什么范围内，旅行包落地点距B端的水平距离始终为（1）中所求的距离？若皮带的角速度，旅行包落地点距B端的水平距离又是多少？解析：（1）若传送带静止，则旅行包滑上水平传送带后做匀减速运动，其加速度旅行包到达B端的水平速度为旅行包离开传送带后做平抛运动，落地点距B端的水平距离为若皮带轮顺时针匀速转动，要使旅行包落地点距B端的水平距离始终为（1）中所示的水平距离，则旅行包须做匀减速运动，皮带轮的临界角速度为所以的取值范围是当时，皮带线速度，当旅行包速度也为,在皮带上运动了，以后旅行包做匀速直线运动。所以旅行包到达B端的速度也为。包的落地点距B端的水平距离为。3（2006年全国理综I第24题）一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为。初始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度a0开始运动，当其速度达到v0后，便以此速度做匀速运动，经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动。求此黑色痕迹的长度．解法1力和运动的观点根据“传送带上有黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生了相对滑动，煤块的加速度a小于传送带的加速度a0。根据牛顿第二定律，可得ga①设经历时间t，传送带由静止开始加速到速度等于v0，煤块则由静止加速到v，有tav00②atv③-3-由于0aa，故0vv，煤块继续受到滑动摩擦力的作用。再经过时间t，煤块的速度由v增加到v0，有tavv0④此后，煤块与传送带运动速度相同，相对于传送带不再滑动，不再产生新的痕迹．设在煤块的速度从0增加到v0的整个过程中，传送带和煤块移动的距离分别为s0和s，有tvtas020021⑤avs220⑥传送带上留下的黑色痕迹的长度ssl0⑦由以上各式得gagavl00202)(⑧解法2vt图象法作出煤块、传送带的vt图线如图所示，图中标斜线的三角形的面积，即为煤块相对于传送带的位移，也即传送带上留下的黑色痕迹的长度．012lvt①000vvtga②由①②解得2000()2vaglag③二、倾斜传送带上的力与运动情况分析4．如图所示，传送带与水平方向夹37°角，AB长为L＝16m的传送带以恒定速度v＝10m/s运动，在传送带上端A处无初速释放质量为m＝0.5kg的物块，物块与带面间的动摩擦因数μ＝0.5，求：（1）当传送带顺时针转动时，物块从A到B所经历的时间为多少？（2）当传送带逆时针转动时，物块从A到B所经历的时间为多少？(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，取g＝10m/s2)．解析(1)当传送带顺时针转动时，设物块的加速度为a，物块受到传送带给予的滑动摩擦力μmgcos37°方向沿斜面向上且小于物块重力的分力mgsin37°，根据牛顿第二定律，有：mgsin37°-μmgcos37°＝ma代入数据可得：a＝2m/s2Ot传送带煤块vvv0/a0v0v0/μg370AB-4-物块在传送带上做加速度为a＝2m/s2的匀加速运动，设运动时间为t，t＝aL2代入数据可得：t＝4s（2）物块放上传送带的开始的一段时间受力情况如图甲所示，前一阶段物块作初速为0的匀加速运动，设加速度为a1，由牛顿第二定律，有mgsin37°＋μmgcos37°=ma1,解得：a1＝10m/s2,设物块加速时间为t1，则t1＝1av，解得：t1=1s因位移s1=21121ta=5m＜16m,说明物块仍然在传送带上．设后一阶段物块的加速度为a2,当物块速度大于传送带速度时，其受力情况如图乙所示．由牛顿第二定律，有：mgsin37°-μmgcos37°＝ma2,解得a2＝2m/s2，设后阶段物块下滑到底端所用的时间为t2．由L－s＝vt2＋a2t22/2，解得t2＝1s另一解－11s不合题意舍去．所以物块从A到B的时间为：t＝t1＋t2＝2s5如图所示，皮带轮带动传送带沿逆时针方向以速度v0=2m/s匀速运动，两皮带轮之间的距离L=3.2m，皮带绷紧与水平方向的夹角θ=37°。将一可视为质点的小物块无初速地从上端放到传送带上，已知物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，物块在皮带上滑过时能在皮带上留下白色痕迹。求物体从下端离开传送带后，传送带上留下的痕迹的长度。（sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s2）解析：设物体刚放到皮带上时与皮带的接触点为P，则物块速度达到v0前的过程中，由牛顿第二定律有：mgsinθ+μmgcosθ=ma1，代入数据解得a1=10m/s2经历时间P点位移x1=v0t1=0.4m，物块位移-5-划出痕迹的长度ΔL1=x1－x1＇=0.2m物块的速度达到v0之后由牛顿第二定律有：mgsinθ－μmgcosθ=ma2，代入数据解得：a2=2m/s2到脱离皮带这一过程，经历时间t2解得t2=1s此过程中皮带的位移x2=v0t2=2mΔL2=x2＇―x2=3m―2m=1m由于ΔL2＞ΔL1，所以痕迹长度为ΔL2=1m6、水平和倾斜组合传送带上的力与运动情况分析如图甲所示的传送带，其水平部分ab的长度为2m，倾斜部分bc的长度为4m，bc与水平面的夹角θ＝37°，现将一小物块A（可视为质点）轻轻放在传送带的a端，物块A与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.25．传送带沿图甲所示方向以v＝2m/s的速度匀速运动，若物块A始终未脱离传送带，试求小物块A从a端被传送到c端所用的时间？（取g＝10m/s2，sin37°＝0.6,cos37°＝0.8）解答设物块在水平传送带上加速的过程中的加速度为a1，根据牛顿第二定律有：μmg＝ma1解得:a1＝2.5m/s2设物块A做运加速运动的时间为t1，t1＝1av解得：t1＝0.8s设物块A相对传送带加速运动的位移为s1，则s1＝201vt解得：t1＝0.8m当A的速度达到2m/s时，A将随传送带一起匀速运动，A在传送带水平段匀速运动的时间为t2，t2＝vssab1＝0.6s解得：t2＝0.6sA在bc段受到的摩擦力为滑动摩擦力，其大小为μmgcos37°，设A沿bc段下滑的加速度为a2，根据牛顿第二定律有，mgsin37°－μmgcos37°＝ma2解得：a2＝4m/s2根据运动学的关系，有：sbc＝vt3＋2321at其中sbc=4m，v=2m/s，解得：t3＝1s，另一解t3＝－2s（不合题意，舍去）图甲-6-所以物块A从传送带的a端传送到c端所用的时间t＝t1＋t2＋t3＝2.4s三、传送带问题中能量转化情况的分析7、如图所示，水平传送带以速度v匀速运动，一质量为m的小木块由静止轻放到传送带上，若小木块与传送带之间的动摩擦因数为μ，当小木块与传送带相对静止时，系统转化的内能是(D)A、mv2B、2mv2C、241mvD、221mv8、如图所示，电动机带着绷紧的传送带始终以v0＝2m/s的速度运动，传送带与水平面的夹角θ＝30°，现把一质量为m＝10kg的工件轻轻地放在皮带的底端，经过一段时间后，工件被送到高h＝2m的平台上，已知工件与皮带之间的动摩擦因数μ＝23，除此之外，不记其他损耗。求电动机由于传送工件多消耗的电能。（取g＝10m/s2）解答作出工件在传送带上受力如图所示，f为皮带给予工件的滑动摩擦力，对工件,根据牛顿第二定律，有：μmgcosθ－mgsinθ＝ma代入数据解得：a＝2.5m/s2工件达到传送带运转速度v0＝2m/s时所用的时间t1＝av代入数据解得：t1＝0.8s工件在传送带上加速运动的距离为s1＝2121at代入数据解得：s1＝0.8m故有:s1＜h/sin30°说明工件在传送带上现做匀加速运动，再做匀速运动，工件到达平台时的速度为2m/s．故工件增加的机械能E＝mgh＋221mv代入数据得E＝220J设在t1时间内传送带的位移为s2，故转化的内能为:W＝f(s2－s1)＝fs1代入数据得W＝60J电动机由于传送工件多消耗的电能。△E=E＋W＝280J9如图所示，水平长传送带始终以速度v=3m/s匀速运动。现将一质量为m=1kg的物块放于左端（无初速度）。最终物体与传送带一起以3m/s的速度运动，在物块由速度为零增加至v=3m/s的过程中，求：（1）由于摩擦而产生的热量。（2）由于放了物块，带动传送带的电动机消耗多少电能？解析：300AB-7-（1）小物块刚放到传送带上时其速度为零，将相对于传送带向左滑动，受到一个向右的滑动摩擦力，使物块加速，最终与传送带达到相同速度v。物块所受的滑动摩擦力为Ff=μmg物块加速度加速至v的时间物块对地面位移这段时间传送带向右的位移则物块相对传送带向后滑动的位移根据能量守恒定律知（2）电动机多消耗的电能即物块获得的动能及产生的热量之和，即。答案：4.5J9J10如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ=30°，皮带在电动机的带动下，始终保持v0=2m/s的速率运行。现把一质量m=10kg的工件（可看做质点）轻轻放在皮带的底端，经时间t=1.9s，工件被传送到h=1.5m的高处，取g=10m/s2。求：（1）工件与皮带间的动摩擦因数；（2）电动机由于传送工件多消耗的电能。解析：(1)由题意可知皮带长为s＝h/sin30°＝3m工件速度达到v0前，做匀加速运动的位移为s1＝ｔ1-8-工件速度达到v0后做匀速运动的位移为s-s1=v0(t-t1)解得t1=0.8s工件的加速度为a＝v0/ｔ1＝2.5m/s2工件受的支持力N=mgcosθ对工件应用牛顿第二定律，得μmgcosθ-mgsinθ=ma，解得动摩擦因数为μ＝(2)首先要弄清什么是电动机“多消耗的电能”。当皮带空转时，电动机会消耗一定的电能。现将一工件置于皮带上，在摩擦力作用下，工件的动能和重力势能都要增加；另外，滑动摩擦力做功还会使一部分机械能转化为热，这两部分能量之和，就是电动机多消耗的电能。在时间t1内，皮带运动的位移为s2=v0t1=1.6m工件相对皮带的位移为Δs＝s2－s1＝0.8m在时间t1内，皮带与工件的摩擦生热为Q＝μmgcosθ·Δs＝60