高等代数【北大版】6.2

§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和小结与习题第六章线性空间§6.2线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义二、线性空间的简单性质§6.2线性空间的定义与简单性质§6.2线性空间的定义与简单性质12121122(,,,)(,,,)(,,,)nnnnaaabbbababab1212(,,,,,)(,,)nnkaaakakkakaP而且这两种运算满足一些重要的规律,如引例1空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量0()()()01()()klkl()klkl()kkk,,,,nPklP§6.2线性空间的定义与简单性质同样满足上述这些重要的规律，即(),(),()[],,fxgxhxPxklP()()()()fxgxgxfx数域P上的一元多顶式环P[x]中，定义了两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算(()())()()(()())fxgxhxfxgxhx()()()()klfxklfx1()()fxfx()(())0fxfx()0()fxfx()()()()klfxkfxlfx(()())()()kfxgxkfxkgx引例2§6.2线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中定义了一种代数运算，叫做加法：即对，,V在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为的和，记为；在P与V的元素之间还与定义了一种运算，叫做数量乘法：即,,VkP在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为的数量乘积，记为如果加法和数量乘k与.k法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：§6.2线性空间的定义与简单性质加法满足下列四条规则：①1⑤⑥()()klkl数量乘法与加法满足下列两条规则：⑦()klkl（具有这个性质的元素0称为V的零元素）数量乘法满足下列两条规则:②()()⑧()kkk,,V④对都有V中的一个元素β，使得,V;（β称为的负元素）0③在V中有一个元素0，对,0V有§6.2线性空间的定义与简单性质3．线性空间的判定：注：1．凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称向量空间．但这里的向量不一定是有序数组．称为线性运算．就不能构成线性空间．运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者§6.2线性空间的定义与简单性质例1引例1,2中的Pn,P[x]均为数域P上的线性空间．例2数域P上的次数小于n的多项式的全体，再添的加法和数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，法构成数域P上的一个线性空间，常用P[x]n表示．上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘1110110[]{(),,,}nnnnPxfxaxaxaaaaP例3数域P上矩阵的全体作成的集合,按矩阵mn用表示．mnP§6.2线性空间的定义与简单性质例5全体正实数R＋，logbaabkkaaababkkaa判断R＋是否构成实数域R上的线性空间.1)加法与数量乘法定义为：,,abRkR2)加法与数量乘法定义为：,,abRkR例4任一数域P按照本身的加法与乘法构成一个数域P上的线性空间．§6.2线性空间的定义与简单性质1）R＋不构成实数域R上的线性空间.⊕不封闭，如12212log12R＋．2)R＋构成实数域R上的线性空间．首先，R＋≠，且加法和数量乘法对R＋是封闭的.,,kaRkRkaaR,且ak唯一确定．解：,,abRababR,且ab唯一确定；事实上,其次，加法和数量乘法满足下列算律②()()()()()()abcabcabcabcabcabc①ababbaba§6.2线性空间的定义与简单性质③R＋，111,aaaaR＋，即1是零元；④aR＋，1aR＋，且111aaaa即a的负元素是；1a⑤11aaa;aR＋；⑥()()()llklkklklakaaaakla;()()()klklklklaaaaaakala⑦⑧()()()kkkkkkabkabababab∴R＋构成实数域R上的线性空间．;()()kakb§6.2线性空间的定义与简单性质即n阶方阵A的实系数多项式的全体，则V关于矩阵例6令()()[],nnVfAfxRxAR的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间．证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知()()(),()()fAgAhAkfAdA其中，,(),()[]kRhxdARx又V中含有A的零多项式，即零矩阵0，为V的零元素.以f(x)的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为－f(x),则f(A)有负元素－f(A).由于矩阵的加法与数乘满足其他各条，故V为实数域R上的线性空间.§6.2线性空间的定义与简单性质1、零元素是唯一的.2、，的负元素是唯一的，记为-．V证明：假设有两个负元素β、γ，则有◇利用负元素，我们定义减法：01＝01＋02＝02．证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有0()()()00,0()二、线性空间的简单性质§6.2线性空间的定义与简单性质∴两边加上即得0＝0；∵(0)0kkkk∴两边加上k；即得k0＝0;(1)1(1)(11)00∵∴两边加上－即得(1);∵()()kkkk即得∴两边加上k().kkk00,00,(1),()kkkk3、∵0(01),证明：§6.2线性空间的定义与简单性质4、如果k＝0，那么k＝0或＝0.111()()00.kkkkk证明：假若则0,k练习：1、P273：习题31）2）4）2、证明：数域P上的线性空间V若含有一个非零向量，则V一定含有无穷多个向量.§6.2线性空间的定义与简单性质证：设,0V且121212,,,,有kkPkkkkV1212()0kkkk又－12.kk而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限多个不同的向量.注只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.