高等代数【北大版】6.3

§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和小结与习题第六章线性空间§6.3维数基坐标一、线性空间中向量之间的线性关系二、线性空间的维数、基与坐标§6.3维数·基与坐标§6.3维数基坐标引入即线性空间的构造如何？怎样才能便于运算？问题Ⅰ如何把线性空间的全体元素表示出来？这些元素之间的关系又如何呢？（基的问题）问题Ⅱ线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西—数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？（坐标问题）§6.3维数基坐标一、线性空间中向量之间的线性关系1、有关定义设V是数域P上的一个线性空间（1）1212,,,(1),,,,,rrVrkkkP和式1122rrkkk的一个线性组合．称为向量组12,,,r（2），若存在12,,,,rV12,,,rkkkP则称向量可经向量组线性表出；12,,,r1122rrkkk使§6.3维数基坐标若向量组中每一向量皆可经向量组12,,,s12,,,r线性表出，则称向量组12,,,s可经向量组线性表出；12,,,r若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组为等价的．（3）12,,,rV，若存在不全为零的数12,,,rkkkP，使得11220rrkkk则称向量组为线性相关的；12,,,r§6.3维数基坐标（4）如果向量组不是线性相关的，即12,,,r11220rrkkk只有在时才成立，120rkkk则称为线性无关的．12,,,r（1）单个向量线性相关0.单个向量线性无关0向量组线性相关12,,,r12,,,r中有一个向量可经其余向量线性表出．2、有关结论§6.3维数基坐标（2）若向量组线性无关，且可被12,,,r向量组线性表出，则12,,,s;rs若与为两线性无关的12,,,r12,,,s等价向量组，则.rs（3）若向量组线性无关，但向量组12,,,r12,,,,r线性相关，则可被向量组线性表出，且表法是唯一的．12,,,r§6.3维数基坐标因为，对任意的正整数n，都有n个线性无关的向量1、无限维线性空间若线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量，则称V是无限维线性空间．例1所有实系数多项式所成的线性空间R[x]是无限维的.1，x，x2，…，xn－1二、线性空间的维数、基与坐标§6.3维数基坐标2、有限维线性空间n维线性空间；常记作dimV＝n.（1）n维线性空间：若在线性空间V中有n个线性无关的向量，但是任意n＋1个向量都是线性相关的，则称V是一个注：零空间的维数定义为0.dimV＝0V＝{0}§6.3维数基坐标在n维线性空间V中，n个线性无关的向量（2）基12,,,n，称为V的一组基；下的坐标，记为12(,,,).naaa（3）坐标设为线性空间V的一组基，12,,,n,V则数组，就称为在基12,,,n12,,,naaa112212,,,,nnnaaaaaaP若§6.3维数基坐标有时也形式地记作1212(,,,)nnaaa注意：向量的坐标12(,,,)naaa是被向量和基12,,,n唯一确定的．即向量在基下的坐标唯一的.12,,,n但是，在不同基下的坐标一般是不同的．§6.3维数基坐标3、线性空间的基与维数的确定定理：若线性空间V中的向量组满足12,,,nⅰ）线性无关；12,,,nⅱ）可经线性表出,,V12,,,n则V为n维线性空间，为V的一组基．12,,,n§6.3维数基坐标证明：∵线性无关，12,,,naaa∴V的维数至少为n．任取V中n＋1个向量，121,,,,nn由ⅱ)，向量组可用向量组121,,,,nn若是线性无关的，则n＋1≤n，矛盾．121,,,,nn12,,,naaa线性表出.∴V中任意n＋1个向量是线性相关的．121,,,,nn故，V是n维的，就是V的一组基．12,,,n§6.3维数基坐标例23维几何空间R3＝{(,,),,}xyzxyzR123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)是R3的一组基；123(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)也是R3的一组基．一般地，向量空间12{(,,,),1,2,,}nniPaaaaPin为n维的，12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,,0,1)n就是Pn的一组基．称为Pn的标准基.§6.3维数基坐标①n维线性空间V的基不是唯一的，V中任意n个②任意两组基向量是等价的．例3（1）证明：线性空间P[x]n是n维的，且注意：线性无关的向量都是V的一组基．（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－11，x，x2，…，xn－1为P[x]n的一组基．也为P[x]n的一组基．§6.3维数基坐标证:（1）首先，1，x，x2，…，xn－1是线性无关的．∴1，x，x2，…，xn－1为P[x]n的一组基，从而，P[x]n是n维的.011(,,,)naaa其次，1011()[]nnnfxaaxaxPx可经1，x，x2，…，xn－1线性表出．()fx注：在基1，x，x2，…，xn－1下的坐标就是此时，1011()nnfxaaxax§6.3维数基坐标（2）1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1是线性无关的．又对()[]nfxPx，按泰勒展开公式有(1)1()()()()()()(1)!nnfafxfafaxaxan即,f(x)可经1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1线性表出.∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1为P[x]n的一组基．在基1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1下的坐标是(1)()((),(),,)(1)!nfafafan注：此时，1011()nnfxaaxax§6.3维数基坐标若把C看成是实数域R上的线性空间呢？而实数域R上的线性空间C为2维的，数1，i就为例4求全体复数的集合C看成复数域C上的线性空间的维数与一组基；解：复数域C上的线性空间C是1维的，数1就是它的一组基；它的一组基．注：任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的，数1就是它的一组基.§6.3维数基坐标解：令1110,00E1201,00E2100,10E220001E则11122122,,,EEEE是线性无关的．事实上，由111221220aEbEcEdE，即0abcd有0.abcd又对2211122122aaAPaa，有1111121221212222AaEaEaEaE例5求数域P上的线性空间的维数和一组基．22P是的一组基，是4维的．∴11122122,,,EEEE22P22P§6.3维数基坐标矩阵在基下的11122122aaAaa11122122,,,EEEE坐标就是11122122(,,,).aaaa一般地，数域P上的全体矩阵构成的线性空间mn为维的，mnPmn注：0001000ijEj第列i第行1,2,,1,2,,imjn就是的一组基．mnP11(),mnmnijijijiiAaPAaE有矩阵单位§6.3维数基坐标1234,,,下的坐标，其中1234(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)解：设11223344xxxx，则有线性方程组12341234123412341211xxxxxxxxxxxxxxxx解之得，12345111,,,4444xxxx．∴ξ在基1234,,,下的坐标为5111(,,,)4444．例6在线性空间中求向量在基4P(1,2,1,1)§6.3维数基坐标练习1.已知全体正实数R＋对于加法与数量乘法：,,,kababkaaabRkR构成实数域R上的线性空间，求R＋的维数与一组基.2100()()[],00,00VfAfxRxA2.求实数域R上的线性空间V的维数与一组基.这里132i§6.3维数基坐标1解:数1是R＋的零元素.即x可由a线性表出.任取R＋中的一个数a,且，则a是线性无关的.1alog,log,.xaxkaxRkRkaaax又有使故R＋是一维的，任一正实数就是R＋的一组基.(1)a(,11).xRxxx§6.3维数基坐标2解:2313,1,2i2133132nnknkkZnk22310010000,010,00001AAE233132nEnkAAnkkZAnk①§6.3维数基坐标下证线性无关.设2,,EAA21230,kEkAkA得齐次线性方程组12321232123000kkkkkkkkk其系数行列式22221111(1)(1)()01②§6.3维数基坐标∴方程组②只有零解：1230kkk故线性无关.2,,EAA又由①知，任意均可表成的线性组合，2,,EAA所以V为三维线性空间，就是V的一组基.2,,EAA