高等代数【北大版】6.6

§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和小结与习题第六章线性空间§6.6子空间的交与和§6.6子空间的交与和一、子空间的交二、子空间的和三、子空间交与和的有关性质§6.6子空间的交与和也为V的子空间，1212{|}VVaaVaV且设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合一、子空间的交1、定义任取1212,,,,,,VVVV即且1212,,VVVV则有同时有1212,,,kVkVkVVkP故为V的子空间.12VV12120,0,0VVVV事实上，称之为V1与V2的交空间.§6.6子空间的交与和显然有,2、推广多个子空间的交121|,1,2,3,,ssiiiVVVVVis1221,VVVV为线性空间V的子空间，则集合12,,,sVVV123123()()VVVVVV也为V的子空间，称为的交空间.12,,,sVVV§6.6子空间的交与和二、子空间的和1、定义其中，则有111222,,,,VV121212(),kkkkVVkP设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合也为V的子空间，12121122{|,}VVaaaVaV称之为V1与V2的和空间.1212()()任取设12,,VV1212,,112212()()VV12120,0,000VVVV事实上，§6.6子空间的交与和显然有,2、推广多个子空间的和12|,1,2,3,,siiVis1221,VVVV为线性空间V的子空间，则集合12,,,sVVV123123()()VVVVVV也为V的子空间，称为的和空间.12,,,sVVV121sisiVVVV§6.6子空间的交与和V的两子空间的并集未必为V的子空间.例如注意：12{(,0,0)},{(0,,0)}VaaRVbbR皆为R3的子空间，但是它们的并集12{(,0,0),(0,,0),}VVababR并不是R3的子空间.因为它对R3的运算不封闭，如12(1,0,0)(0,1,0)(1,1,0)VV12(1,0,0),(0,1,0)VV但是{(,,0),,}ababRab且中至少有一是0§6.6子空间的交与和三、子空间的交与和的有关性质1212)VVV1223)VVV121)VV2、设为线性空间V的子空间，则以下三12,VV1、设为线性空间V的子空间12,,VVW1）若则12,,WVWV12.WVV2）若则12.VVW12,,VWVW条件等价:§6.6子空间的交与和1212,(,,,)(,,)stLL1212,(,,,,,,)stL3、为线性空间V中两组1212,,,,;,,st向量，则4、维数公式（定理7）设为线性空间V的两个子空间，则12,VV121212dimdimdim()dim()VVVVVV或121212dim()dimdimdim()VVVVVV§6.6子空间的交与和由扩基定理，它可扩充为V1的一组基证：设112212dim,dim,dim()VnVnVVm11212,,,,,,,mnm21212,,,,,,,mnm取的一组基12VV12,,,m它也可扩充为V2的一组基111212(,,,,,,,)mnmVL221212(,,,,,,,)mnmVL即有§6.6子空间的交与和所以，有12121212,12(,,,,,,,,,,)mnmnmVVL+下证121212,12,,,,,,,,,,mnmnm线性无关.令111111mmnmnmkkpp22110nmnmqq假设有等式111111mmnmnmkkpp2211nmnmqq§6.6子空间的交与和则有1212aVaVVV且，于是，令1122,mmlll即可被线性表出12,,,m则22112211mmnmnmlllqq221122110mmnmnmlllqq即从而有21210,mnmlllqq由于线性无关，得21212,,,,,,,mnm因而0.§6.6子空间的交与和1111110mmnmnmkkpp11210mnmkkkpp由于线性无关，得11212,,,,,,,mnm121212,12,,,,,,,,,,mnmnm所以，121212dim()()()VVmnmnmnnm∴线性无关.因而它是的一组基.12VV1212dimdimdim()VVVV§6.6子空间的交与和注：从维数公式中可以看到，子空间的和的维数往往比子空间的维数的和要小.例如，在R3中，设子空间12dim()3VV112223(,),(,)VLVL123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)其中，3121223123(,)(,)(,,)VVLLLR但，则，12dim2,dim2VV由此还可得到，12dim()1,VV12VV是一直线.§6.6子空间的交与和推论：设为n维线性空间V的两个子空间，12,VV121212dim()dimdimdim()VVVVVV若，则必含非零的公共12dimdimVVn12,VV向量.即中必含有非零向量.12VV证：由维数公式有又是V的子空间，∴12VV12dim()VVn12dimdim,VVn若则12dim()0.VV故中含有非零向量.12VV§6.6子空间的交与和①与②111122121122221122000nnnnnsssnaxaxaxaxaxaxaxaxax111122121122221122000nnnntttnnbxbxbxbxbxbxbxbxbx的解空间，则就是齐次线性方程组③12WW例1、在中，用分别表示齐次线性方程组12,WWnP§6.6子空间的交与和③的解空间.证：设方程组①,②,③分别为11112211122111122111220000nnsssnnnntttnnaxaxaxaxaxaxbxbxbxbxbxbx0,0,0AAXBXXB§6.6子空间的交与和即设W为③的解空间，任取，有0XW00,AXB从而000,AXBX000.AXBX012XWW反之，任取，则有012,XWW000,AXBX从而0000,AXAXBXB0XW故12.§6.6子空间的交与和12(1,2,1,0),(1,1,1,1)例2、在中，设4P12(2,1,0,1),(1,1,3,7)1）求的维数的与一组基；,,1212()()LL2）求的维数的与一组基.,,1212()()LL§6.6子空间的交与和解：1)任取,,1212()()LL设11221122,xxyy则有112211220,xxyy(＊)解得（t为任意数）121243xtxtytyt(＊)1212121212211220203070xxyyxxyyxxyxyy即§6.6子空间的交与和令t=1，则得的一组基,,1212()()LL1245,2,3,4为一维的.,,1212()()()LLL2)12121212(,)(,)(,,,)LLL对以为列向量的矩阵A作初等行变换1212,,,1221(4)(3)tt§6.6子空间的交与和为3维的，1212121(,)(,)(,,)LLL1121211111030117A112103530222011711210026011100261121011100130000B由B知，为的一个极大无关组.1212,,,121,,为其一组基.121,,§6.6子空间的交与和练习：1,0xyWxyPy20,0xWxyPy在中，令22P求及12WW12.WW易知，皆为的子空间.22P12,WW§6.6子空间的交与和1112122122xxXWWxx解：任取由有1,XW220x由有2,XW12210xx故，11000xX12000xWWxP从而，§6.6子空间的交与和11001,0010WxyxyP12.WW再求因为，1001,0010L21000,0001WxyxyP1000,0001L§6.6子空间的交与和所以，12100100,,001001WWL,,xyxyzPyz100100,,001001xyzxyzP