高等代数【北大版】6.7

§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和小结与习题第六章线性空间§6.7子空间的直和§6.7子空间的直和一、直和的定义二、直和的判定三、多个子空间的直和§6.7子空间的直和引入有两种情形：由维数公式设为线性空间V的两个子空间，12,VV121212dimdimdim()dim()VVVVVV12121)dim()dimdimVVVV此时12dim()0,VV即，必含非零向量.12VV§6.7子空间的直和情形2）是子空间的和的一种特殊情况直和12122)dim()dimdimVVVV此时12dim()0,VV不含非零向量，即12VV120VV§6.7子空间的直和一、直和的定义设为线性空间V的两个子空间，若和12,VV12VV12112,,VV是唯一的，和就称为直和，记作12.VV12VV注:若有,,,1212111222,VV则1122,.①分解式唯一的，意即12中每个向量的分解式§6.7子空间的直和②分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立.例如，R3的子空间11222333(,),(,),()VLVLVL123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)这里，在和中，向量的分解式不唯一，如12VV(2,2,2)(2,3,0)(0,1,2)(2,1,0)(0,1,2)所以和不是直和.12VV§6.7子空间的直和而在和中，向量(2,2,2)的分解式是唯一的，13VV(2,2,2)(2,2,0)(0,0,2)事实上，对12313(,,),aaaVV故是直和.12VV123(,,0)(0,0,).aaa都只有唯一分解式：§6.7子空间的直和二、直和的判定分解式唯一，即若1211220,,VV1、(定理8)和是直和的充要条件是零向量12VV则必有120.1211220,,VV若证：必要性.12VV是直和,12,VV的分解式唯一.120,0.而0有分解式0=00,§6.7子空间的直和充分性.故是直和.12VV,,,1212111222,VV设，它有两个分解式12VV有11220,0.其中111222,VV于是1122()()0由零向量分解成唯一，且0=00,即1122,的分解式唯一.§6.7子空间的直和2、和是直和12VV120VV.则有12120VV120,即12VV是直和.“”任取12,VV证：“”若1211220,,.VV于是零向量可表成120(),,.VV由于是直和，零向量分解式唯一，12VV0.故120.VV§6.7子空间的直和证：由维数公式3、和是直和12VV1212dim()dimdimVVVV121212dimdimdim()dim()VVVVVV有，1212dim()dimdimVVVV12dim()0VV120VV12VV是直和.（由2、得之）§6.7子空间的直和总之，设为线性空间V的子空间，则下面12,VV四个条件等价:2）零向量分解式唯一1）是直和12VV3）120VV4）1212dim()dimdimVVVV4、(定理10)设U是线性空间V的一个子空间，称这样的W为U的一个余子空间.则必存在一个子空间W，使.VUW§6.7子空间的直和证：取U的一组基,,,12m把它扩充为V的一组基,,,,,,121mmn,,,12(),mmnWL令则.VUW余子空间一般不是唯一的(除非U是平凡子空间).注意：如，在R3中，设121122(,),(),(),ULWLWL令1212(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(0,0,1)31212,RUWU则但§6.7子空间的直和5、设分别是线性子空间;1212,,,,,,rs12,VV的一组基，则是直和12VV1212,,,,,,,rs线性无关.证：由题设，,,1121(,),dimrVLVr2122(,,,),dimsVLVs,,121212(,,,,,).rsVVL若线性无关，1212,,,,,,,rs则它是的一组基.12VV从而有§6.7子空间的直和反之,若直和，则12VV1212dim()dimdimVVVVrs从而的秩为r＋s.1212,,,,,,,rs所以线性无关.1212,,,,,,,rs是直和.12VV1212dim()dimdimVVrsVV§6.7子空间的直和1、定义中每个向量的分解式121sisiVVVV三、推广多个子空间的直和都是线性空间V的子空间，若和12,,,sVVV是唯一的，则和就称为直和，记作1siiV12sVVV,,121,2,,siiVis§6.7子空间的直和四个条件等价:2）零向量分解式唯一，即3）0,1,2,,ijjiVVis4）1dimdimsiiWV2、判定设都是线性空间V的子空间，则下面12,,,sVVV1）是直和1siiWV0,1,2,,iis必有,120,siiV§6.7子空间的直和例1、每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和.证：设是n维线性空间V的一组基,,12,,n则,12(,,)nVL12()()()nLLL而dim()1,1,2,,iLin1dim()dimsiiLnV故12()()().nVLLL得证.§6.7子空间的直和例2、已知，设nnAP,12,0nnVAXXPVXXPAX2）当时，12.nPVV2AA证：1）100,0AV任取有1,,,AAVkP11(),()().AAAVkAAkV是的子空间.nP1V证明：1）是的子空间.12VV、nP§6.7子空间的直和200,0AV0,0,AA又对2,,,VkP有从而有()000AAA()00AkkAk22,VkV故是的子空间.nP2V下证是的子空间.nP2V§6.7子空间的直和又12.nPVV2）先证任取,(),nPAA有2()0AAAAAA2.AV12.nPVV12.VV于是有11.nPVV其中1,AV再证12.nPVV又是的子空间，12VVnP§6.7子空间的直和120VV2,0.VA由有1,.nVPA由必有,使任取1212.VVVV,即且2()0.AAAAA从而12.nPVV所以§6.7子空间的直和练习1设V1、V2分别是齐次线性方程组①与②的证：解齐次线性方程组①，得其一个基础解系121(1,0,,0,1)(0,1,,0,1)(0,0,,1,1)n①120nxxx②12nxxx解空间：证明:12nPVV§6.7子空间的直和再解齐次线性方程组②.,,,1121().nVL由12nxxx即121000nnnnxxxxxx得②的一个基础解系(1,1,,1)2().VL考虑向量组,,,121,n§6.7子空间的直和由于10010101000111111,,,,,,,121121()()()nnnnnPLLL线性无关，即它为Pn的一组基.,,,121,n12nPVV12VV12dimdim(1)1dimnVVnnP又§6.7子空间的直和2、和是直和12sVVV110,1,2,,iijjVVis证:12sVVV若是直和,110,1,2,,iijjVVis11iijijjjiVVVV又0,ijjiVV则练习：§6.7子空间的直和12sVVV假若不是直和,则零向量还有一个分解式,120,1,2,,sjjVjs（*）在(*)式中，设最后一个不为0的向量是,()iis则(*)式变为,120i这时，121ii11211(){0}iiiiijjVVVVVV0,i即矛盾.所以，是直和.12sVVV