高等代数【北大版】7.2

§2线性变换的运算§3线性变换的矩阵§4特征值与特征向量§1线性变换的定义§6线性变换的值域与核§8若当标准形简介§9最小多项式§7不变子空间小结与习题第七章线性变换§5对角矩阵§7.2线性变换的运算一、线性变换的乘积二、线性变换的和§7.2线性变换的运算三、线性变换的数量乘法四、线性变换的逆五、线性变换的多项式§7.2线性变换的运算1．定义设为线性空间V的两个线性变换，定义它们,事实上，()()(())(()())一、线性变换的乘积的乘积为：,V则也是V的线性变换.(())(())()()()(),()()(())(())(())()()kkkkk§7.2线性变换的运算２．基本性质（1）满足结合律：（2），E为单位变换EE（3）交换律一般不成立，即一般地，.§7.2线性变换的运算例1.线性空间中，线性变换[]RxDfxfx0,xDJfxDftdtfx00xJDfxJfxftdtfxf而，.DJJD0xJfxftdt即.DJE§7.2线性变换的运算(),XAX例2.设A、B为两个取定的矩阵，定义变换nnP则皆为的线性变换，且对有,nnP,nnXP()()(())()(),XXXBAXBAXB()()(())()().XXAXAXBAXB(),XXBnnXP.§7.2线性变换的运算则也是V的线性变换.二、线性变换的和1．定义设为线性空间V的两个线性变换，定义它们,,V的和为：事实上，()()()()()()()()()()()(),()()()()()()kkkkk(()())()().kk§7.2线性变换的运算（3）0为零变换.00,（4）乘法对加法满足左、右分配律：2．基本性质（1）满足交换律：（2）满足结合律：§7.2线性变换的运算,V3．负变换设为线性空间V的线性变换，定义变换为：则也为V的线性变换，称之为的负变换.注：()0§7.2线性变换的运算,kkV三、线性变换的数量乘法1．定义的数量乘积为：k则也是V的线性变换.k设为线性空间V的线性变换，定义k与,kP§7.2线性变换的运算(1)()()klkl(2)()klkl(3)()kkk(4)12．基本性质注：线性空间V上的全体线性变换所成集合对于线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性空间，记作().LV§7.2线性变换的运算四、线性变换的逆E则称为可逆变换，称为的逆变换，记作1.1．定义设为线性空间V的线性变换，若有V的变换使2．基本性质(1)可逆变换的逆变换也是V的线性变换.1§7.2线性变换的运算111111111证：对,,,VkP11111111kkk1111kkk是V的线性变换.1§7.2线性变换的运算(2)线性变换可逆线性变换是一一对应.证：设为线性空间V上可逆线性变换.任取若则有()(),,,V111()()(())(())1()().为单射.其次，对令则且,V1(),,V11()(())().为满射.故为一一对应.§7.2线性变换的运算若为一一对应，易证的逆映射也为V的线性变换，且.E故可逆，.1线性变换，则可逆当且仅当12(),(),,()n(3)设是线性空间V的一组基，为V的12,,,n线性无关.证：设1122()()()0.nnkkk于是1122()0nnkkk因为可逆，由(2)，为单射，又(0)0,§7.2线性变换的运算11220nnkkk而线性无关，所以12,,,n0,1,2,,.ikin故线性无关.12(),(),,()n若线性无关，则它12(),(),,()n也为V的一组基.1122()()(),nnkkk因而，对有,V即有1122().nnkkk为满射.§7.2线性变换的运算12(),(),,()n线性无关,1,2,,,iiabin若则有()(),其次，任取设,,V11,,nniiiiiiab11()(),nniiiiiiab即.由(2)，为可逆变换.故为一一对应.从而，为单射.§7.2线性变换的运算(4)可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组.线性无关.若11220.rrkkk证：设为线性空间V的可逆变换，12,,,rV则有，1122()0rrkkk又可逆，于是是一一对应，且(0)011220rrkkk故线性无关.12(),(),,()r由线性无关，有120.rkkk12,,,r§7.2线性变换的运算,nn当时，规定（单位变换）.0n0E五、线性变换的多项式1．线性变换的幂设为线性空间V的线性变换，n为自然数，定义称之为的n次幂.§7.2线性变换的运算①易证,,,0nmnmnmmnmn注：1nn②当为可逆变换时，定义的负整数幂为③一般地，.nnn§7.2线性变换的运算设10[],mmfxaxaxaPx为V的一个线性变换，则10()mmfaaaE2．线性变换的多项式多项式.也是V的一个线性变换，称为线性变换的()f§7.2线性变换的运算注：,hxfxgxpxfxgx①在中，若[]Px则有，,hfgfggf即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律.pfg②对有(),()[],fxgxPxfggf§7.2线性变换的运算证明：1,1.kkkkk练习：设为线性变换，若,,E证：对k作数学归纳法.当k=2时，若,E①对①两端左乘，得2,对①两端右乘，得2,上两式相加，即得222122.§7.2线性变换的运算②112(1).kkkk对②两端左乘，得对①两端右乘得1,k③11(1),kkkk11,kkk④③＋④，得1.kkkk假设命题对时成立，即1k由归纳原理，命题成立..